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（本小題滿分12分）
已知斜三棱柱ABC—A₁B₁C₁的底面是正三角形，側(cè)面ABB₁A₁是邊長(zhǎng)為2的菱形，且，M是AB的中點(diǎn)，

（1）求證：平面ABC；
（2）求點(diǎn)M到平面AA₁C₁C的距離.

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說明：

1．本解答僅給出了一種解法供參考，如果考生的解法與本解答不同，可根據(jù)試題的主要考查內(nèi)容對(duì)照評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)制訂相應(yīng)的評(píng)分細(xì)則。

2．評(píng)閱試卷，應(yīng)堅(jiān)持每題評(píng)閱到底，不要因?yàn)榭忌�的解答中出現(xiàn)錯(cuò)誤而中斷對(duì)該題的評(píng)閱，當(dāng)考生的解答在某一步出現(xiàn)錯(cuò)誤時(shí)，如果后繼部分的解答未改變?cè)擃}的內(nèi)容和難度，可視影響的程度決定后繼部分的給分，但不得超過該部分正確解答應(yīng)得分?jǐn)?shù)的一半；如果后繼部分的解答有較嚴(yán)重的錯(cuò)誤，就不再給分。

3．解答右端所注分?jǐn)?shù)，表示考生正確做到這一步應(yīng)得的累加分?jǐn)?shù)。

4．給分或扣分均以1分為單位，選擇題和填空題不給中間分。

一．選擇題：本題考查基本知識(shí)和基本運(yùn)算

DDDBB;CDACA;CA

二．填空題：本題考查基本知識(shí)和基本運(yùn)算

13.2；           14.               15.  2；           16. ①②③④

三．解答題：（本大題共6小題，共74分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）

17．（本小題滿分12分）

解：（I）解：

…………………………………………6分

        由 ，得   

        的單調(diào)遞增區(qū)間為

   （II）的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，

18．（本小題滿分12分）

解：（Ⅰ）當(dāng)M是A₁C₁中點(diǎn)時(shí)，BC₁//平面MB₁A．…2分

∵M(jìn)為A₁C₁中點(diǎn)，延長(zhǎng)AM、CC₁，使AM與CC₁    

延長(zhǎng)線交于N，則NC₁=C₁C=a．

連結(jié)NB₁并延長(zhǎng)與CB延長(zhǎng)線交于G，

則BG=CB，NB₁=B₁G．………………………4分

在△CGN中，BC₁為中位線，BC₁//GN．

又GN平面MAB₁，

∴BC₁//平面MAB₁ ．………………………6分

（Ⅱ）∵BC₁//平面MB₁A，∴M是A₁C₁中點(diǎn)．

∵△AGC中， BC=BA=BG ，∴∠GAC=90°．

即AC⊥AG，  又AG⊥AA₁ ，   ，

∴AG⊥平面A₁ACC₁．

∴，………………………………  8分

∴∠MAC為平面MB₁A與平面ABC所成二面角的平面角．

∴所求銳二面角大小為．    …………………………………………10分

（Ⅲ）設(shè)動(dòng)點(diǎn)M到平面A₁ABB₁的距離為，

則．當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)C₁重合時(shí)，三棱錐B―AB₁M的體積最大，最大值為 …12分

19．（本小題滿分12分）

解：設(shè)搖獎(jiǎng)一次，獲得一、二、三、四、五等獎(jiǎng)的事件分別記為A，B，C，D，E。搖獎(jiǎng)的概率大小與扇形區(qū)域 A，B，C，D，E所對(duì)應(yīng)的圓心角大小成正比。

，     2分

（1）搖獎(jiǎng)兩次，均獲得一等獎(jiǎng)的概率；     4分

（2）購(gòu)物滿40元即可獲得兩次搖獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，所得的獎(jiǎng)金數(shù)為可以為2、3、4、5、6、7、8、9、10。從而有

  7分

所以的分布列為：

2

3

4

5

6

7

8

9

10

8分

  10分

（3）由（2）知消費(fèi)者剛好消費(fèi)40元兩次搖獎(jiǎng)機(jī)會(huì)搖獎(jiǎng)所得的平均獎(jiǎng)數(shù)為4.63元；若選擇讓利獲得的優(yōu)惠為，顯然4.63元 >4元。故選擇搖獎(jiǎng)比較劃算。12分

（文）解：設(shè)搖獎(jiǎng)一次，獲得一、二、三、四、五等獎(jiǎng)的事件分別記為A，B，C，D，E。搖獎(jiǎng)的概率大小與扇形區(qū)域 A，B，C，D，E所對(duì)應(yīng)的圓心角大小成正比。，   3分

（1）搖獎(jiǎng)一次，至多獲得三等獎(jiǎng)的事件記為F，則； 即搖獎(jiǎng)一次，至多獲得三等獎(jiǎng)的概率為；

5分

（2）搖獎(jiǎng)兩次，均獲得一等獎(jiǎng)的概率  8分

（3）購(gòu)物滿40元即可獲得兩次搖獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，由題意知，獎(jiǎng)金數(shù)的可能值為8、9、10。某消費(fèi)者購(gòu)物滿40元，搖獎(jiǎng)后獎(jiǎng)金數(shù)不低于8元的事件記為G，則有

答：某消費(fèi)者購(gòu)物滿40元，搖獎(jiǎng)后獎(jiǎng)金數(shù)不低于8元的概率為。12分

20．（本小題滿分12分）

解：（Ⅰ）設(shè)、、，則

，

由此及得

，即；

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，曲線的方程為。

依題意，直線和均不可能與坐標(biāo)軸平行，故不妨設(shè)直線（），直線，從而有

。

同理，有。

若是等腰三角形，則，由此可得

，即或。

    下面討論方程的根的情形（）：

    ①若，則，方程沒有實(shí)根；

②若，則，方程有兩個(gè)相等的實(shí)根；

③若，則，方程有兩個(gè)相異的正實(shí)根，且均不等于（因?yàn)?sub>

）。

    綜上所述，能是等腰三角形：當(dāng)時(shí)，這樣的三角形有且僅有一個(gè)；而當(dāng)時(shí)，這樣的三角形有且僅有三個(gè)。

21.解：（I）………………2分

        當(dāng)或時(shí)，；當(dāng)時(shí)，

   在，（1，內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減…………4分

     故的極小值為  ……………………………………5分

（II）①若則  的圖象與軸只有一個(gè)交點(diǎn)�！�…6分

②若則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，

的極大值為

的極小值為  的圖象與軸有三個(gè)公共點(diǎn)。

③若，則。

 當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，

的圖象與軸只有一個(gè)交點(diǎn)

④若，則 的圖象與軸只有一個(gè)交點(diǎn)

⑤當(dāng)，由（I）知的極大值為

綜上所述，若的圖象與軸只有一個(gè)公共點(diǎn)；

若，的圖象與軸有三個(gè)公共點(diǎn)。

22．（本小題滿分14分）

解:(Ⅰ)∵第n個(gè)集合有n個(gè)奇數(shù)，∴在前n個(gè)集合中共有奇數(shù)的個(gè)數(shù)為

．…………………………………… 2分

則第n個(gè)集合中最大的奇數(shù)=．………………4分

（Ⅱ）（i）由(Ⅰ)得 ，

從而得．……………………………………6分

（ii）由（i）得 ， ∴ ．…7分

（１）當(dāng)時(shí)，，顯然2≤．……………………………………8分

（２）當(dāng)≥2 時(shí)， ………9分

> ，……………………………………………10分

≤．………………………………………………12分

∴

<  ．即．

綜上所述，2≤ ． ……………………………………………………14分