題目列表(包括答案和解析)
1. 2.
3.{(1,-1)}
4.12 5.
6.
7.
8.直角
9.解析:(1)(4).本題考查了獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想及常用邏輯用語(yǔ).由題意,得,
,所以,只有第一位同學(xué)的判斷正確,即:有
的把握認(rèn)為“這種血清能起到預(yù)防感冒的作用”.由真值表知(1)(4)為真命題.
10.提示:設(shè)四棱錐的兩組不相鄰的側(cè)面的交線分別為 m、n, 直線 m、n 確定了一個(gè)平面 β.作與 β 平行的平面 α, 與四棱錐的各個(gè)側(cè)面相截,則截得的四邊形必為平行四邊形.而這樣的平面 α 有無(wú)數(shù)多個(gè).
11.
12.y=-x ±
13.解:由可化為xy =8+x+y
x,y均為正實(shí)數(shù),
xy =8+x+y
(當(dāng)且僅當(dāng)x=y等號(hào)成立)
即xy-2-8
可解得
,即xy
16故xy的最小值為16.
14.
15.解:(1)A中2張錢幣取1張,有2種情況,
B中3張錢幣取1張,有3種情況,
∴互換一次有2´3 = 6種情況,
其中10元幣恰是一張的情況有3種,
∴A袋中10元錢幣恰是一張的概率為P1 =.答略
(2)A袋中恰有一張10元幣的概率為P1 = ;
A袋中恰有兩張10元幣的概率為P2 = ;
∴ A袋中10元錢幣至少是一張的概率P = P1 + P2
= +
=
.
另解:. A袋中恰有0張10元幣的概率為P0
= ,
∴A袋中10元錢幣至少是一張的概率P = 1 ? P0 = .答略.
16.解:(1)證明:取PB中點(diǎn)Q,連結(jié)MQ、NQ,因?yàn)镸、N分別是棱AD、PC中點(diǎn),所以
QN//BC//MD,且QN=MD,于是DN//MQ.
.
(2)
又因?yàn)榈酌鍭BCD是、邊長(zhǎng)為
的菱形,且M為AD中點(diǎn),
所以.
又
所以.
(3)因?yàn)镸是AD中點(diǎn),所以點(diǎn)A與D到平面PMB等距離.
過(guò)點(diǎn)D作于H,由(2)平面PMB
平面PAD,所以
.
故DH是點(diǎn)D到平面PMB的距離.
所以點(diǎn)A到平面PMB的距離為.
17.解:(1)設(shè)中角
的對(duì)邊分別為
,則由
,
可得,所以
(2)
因?yàn)?sub>,
,所以
即當(dāng)時(shí),
;當(dāng)
時(shí),
18.解:(1)直線l1: x+my-m-2=0與l2: mx-yOB,所以A,M,B,O四點(diǎn)共圓,且AB即圓的直徑,又A(m+2,0),B (0,1
整理得:
(2)當(dāng)AB與OM垂直于點(diǎn)P時(shí),由垂徑定理得點(diǎn)P為OM中點(diǎn)(1,),不妨取OA中點(diǎn)Q(
,0),又m
,否則AM垂直x軸,四邊形AMBO為矩形,AB與OM不垂直,所以
,
,
,
得證.
19.解:(1)當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),有2n+1=(2+1)(2n-1-2n-2+…-2+1)=3(2n-1-2n-2+…-2+1)
所以2n+1是最小的數(shù);又2n+1-1=(2n+1+2)-3=2(2n+1)-3,所以2n+1-1是最大的數(shù).
(2)由(1)知當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),An中的各個(gè)元素組成以2n+1為首項(xiàng),3為公差的等差數(shù)列,設(shè)項(xiàng)數(shù)為m,則2n+1-1=2n+1+3(m-1),所以m=,所以當(dāng)n是奇數(shù)時(shí),An中的所有元素之和為
;
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),n-1時(shí)奇數(shù),由(1)可知2n-1+1是3的倍數(shù),因此2n+2=2(2n-1+1)是3的倍數(shù);同理,2n+1-2=2(2n-1)是3的倍數(shù).所以當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),An中的各個(gè)元素組成以2n+2為首項(xiàng),3為公差的等差數(shù)列,設(shè)項(xiàng)數(shù)為m,則2n+1-2=2n+2+3(m-1),所以m=,所以當(dāng)n是偶數(shù)時(shí),An中的所有元素之和為
.
20.解:(1),∴可設(shè)
,
因而 ①
=
,
∵在區(qū)間
內(nèi)單調(diào)遞減,
∴在
上的函數(shù)值非正,
由于,對(duì)稱軸
,故只需
,注意到
,∴
,得
或
(舍去).
故所求的取值范圍是
.
(2)時(shí),方程
僅有一個(gè)實(shí)數(shù)根,即證方程
僅有一個(gè)實(shí)數(shù)根.令
,由
,得
,
,易知
在
,
上遞增,在
上遞減,
的極大值
,故函數(shù)
的圖像與
軸僅有一個(gè)交點(diǎn),∴
時(shí),方程
僅有一個(gè)實(shí)數(shù)根,得證.
(3)設(shè) =
x2+x+1,
=1,對(duì)稱軸為
,.
由題意,得或
解出,故使|
|≤3成立的充要條件是
附加題:
1.證明:如圖,分別過(guò)點(diǎn)E、F作AB的垂線,G、H為垂足,連FA、EB.易知
DB2=FB2=AB?HB,
AD2=AE2=AG?AB.
二式相減,得
DB2-AD2=AB?(HB-AG),
或 (DB-AD)?AB=AB?(HB-AG).
于是,DB-AD=HB-AG,
或 DB-HB=AD-AG.
就是DH=GD.
顯然,EG∥CD∥FH.
故CD平分EF.2.
2.解:由上題可知1 =
,
2
=
是矩陣M=
分別對(duì)應(yīng)特征值
1=1,
2=4的兩個(gè)特征向量,而
1與
2不共線.又
=
=3
+(-2)
∴M20=
M20(3
2+(-2)
1)=
2+(-2) M20
1
=3220
2+(-2)×
120
1=3×420×
+(-2)×120×
=≈
答:20個(gè)時(shí)段后這兩個(gè)種群的數(shù)量都趨向于3×420.
3.證明:以F為極點(diǎn),極軸與x軸正向重合建立極坐標(biāo)系.
設(shè)拋物線方程,A(ρ1,θ),B(ρ2,θ+π),
則AB=ρ1+ρ2= = 4p,sin2θ=,θ=
4.(Ⅰ)證明:(?)當(dāng)時(shí),原不等式成立;當(dāng)
時(shí),左邊
,右邊
,因?yàn)?sub>
,所以左邊
右邊,原不等式成立;
(?)假設(shè)當(dāng)時(shí),不等式成立,即
,則當(dāng)
時(shí),
,
,于是在不等式
兩邊同乘以
得
,
所以.即當(dāng)
時(shí),不等式也成立.
綜合(?)(?)知,對(duì)一切正整數(shù),不等式都成立.
5.(1)設(shè)事件為A,則在7次拋骰子中出現(xiàn)5次奇數(shù),2次偶數(shù)
而拋骰子出現(xiàn)的奇數(shù)和偶數(shù)的概率為p是相等的,且為
根據(jù)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)概率公式:
(2)若
即前2次拋骰子中都是奇數(shù)或都是偶數(shù).
若前2次都是奇數(shù),則必須在后5次中拋出3次奇數(shù)2次偶數(shù),
其概率:
若前2次都是偶數(shù),則必須在后5次中拋出5次奇數(shù),其概率:
所求事件的概率
6.以下解答僅供參考,按學(xué)生實(shí)際解答給分.
解:(1)條直線將一個(gè)平面最多分成
個(gè)部分(
),與(2)合并證明;
(2)個(gè)平面最多將空間分割成
個(gè)部分(
).
證明:設(shè)個(gè)
維空間可將
維空間最多分成
個(gè)部分,則只需證明
,這里
∈
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