題目列表(包括答案和解析)
已知函數(shù),
(1)若函數(shù)定義域為,求
的值;
(2)若函數(shù)值域為,求
的值;
(3)若在
單調(diào)遞增,求
的取值范圍;
已知函數(shù)的圖象過坐標(biāo)原點O,且在點
處的切線的斜率是
.
(Ⅰ)求實數(shù)的值;
(Ⅱ)求在區(qū)間
上的最大值;
(Ⅲ)對任意給定的正實數(shù),曲線
上是否存在兩點P、Q,使得
是以O(shè)為直角頂點的直角三角形,且此三角形斜邊中點在
軸上?說明理由.
【解析】第一問當(dāng)時,
,則
。
依題意得:,即
解得
第二問當(dāng)時,
,令
得
,結(jié)合導(dǎo)數(shù)和函數(shù)之間的關(guān)系得到單調(diào)性的判定,得到極值和最值
第三問假設(shè)曲線上存在兩點P、Q滿足題設(shè)要求,則點P、Q只能在
軸兩側(cè)。
不妨設(shè),則
,顯然
∵是以O(shè)為直角頂點的直角三角形,∴
即 (*)若方程(*)有解,存在滿足題設(shè)要求的兩點P、Q;
若方程(*)無解,不存在滿足題設(shè)要求的兩點P、Q.
(Ⅰ)當(dāng)時,
,則
。
依題意得:,即
解得
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,
①當(dāng)時,
,令
得
當(dāng)變化時,
的變化情況如下表:
|
|
0 |
|
|
|
|
— |
0 |
+ |
0 |
— |
|
|
極小值 |
單調(diào)遞增 |
極大值 |
|
又,
,
�!�
在
上的最大值為2.
②當(dāng)時,
.當(dāng)
時,
,
最大值為0;
當(dāng)時,
在
上單調(diào)遞增�!�
在
最大值為
。
綜上,當(dāng)時,即
時,
在區(qū)間
上的最大值為2;
當(dāng)時,即
時,
在區(qū)間
上的最大值為
。
(Ⅲ)假設(shè)曲線上存在兩點P、Q滿足題設(shè)要求,則點P、Q只能在
軸兩側(cè)。
不妨設(shè),則
,顯然
∵是以O(shè)為直角頂點的直角三角形,∴
即 (*)若方程(*)有解,存在滿足題設(shè)要求的兩點P、Q;
若方程(*)無解,不存在滿足題設(shè)要求的兩點P、Q.
若,則
代入(*)式得:
即,而此方程無解,因此
。此時
,
代入(*)式得: 即
(**)
令
,則
∴在
上單調(diào)遞增, ∵
∴
,∴
的取值范圍是
。
∴對于,方程(**)總有解,即方程(*)總有解。
因此,對任意給定的正實數(shù),曲線
上存在兩點P、Q,使得
是以O(shè)為直角頂點的直角三角形,且此三角形斜邊中點在
軸上
下列函數(shù)中,既是偶函數(shù)又在單調(diào)遞增的函數(shù)是(
)
(A) (B)
(C)
(D)
下列函數(shù)中,既是偶函數(shù)又在單調(diào)遞增的函數(shù)是
A. B.
C.
D.
下列函數(shù)中,既是偶函數(shù)又在單調(diào)遞增的函數(shù)是( )
A. B.
C. D.
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