題目列表(包括答案和解析)
(本小題滿分14分)
已知函數。
(1)證明:
(2)若數列的通項公式為
,求數列
的前
項和
;w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
(3)設數列滿足:
,設
,
若(2)中的滿足對任意不小于2的正整數
,
恒成立,
試求的最大值。
(本小題滿分14分)已知,點
在
軸上,點
在
軸的正半軸,點
在直線
上,且滿足
,
. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
(Ⅰ)當點在
軸上移動時,求動點
的軌跡
方程;
(本小題滿分14分)設函數
(1)求函數的單調區(qū)間;
(2)若當時,不等式
恒成立,求實數
的取值范圍;w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
(本小題滿分14分)
已知,其中
是自然常數,
(1)討論時,
的單調性、極值;w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
(2)求證:在(1)的條件下,;
(3)是否存在實數,使
的最小值是3,若存在,求出
的值;若不存在,說明理由.
(本小題滿分14分)
設數列的前
項和為
,對任意的正整數
,都有
成立,記
。
(I)求數列的通項公式;
(II)記,設數列
的前
項和為
,求證:對任意正整數
都有
;
(III)設數列的前
項和為
。已知正實數
滿足:對任意正整數
恒成立,求
的最小值。
第Ⅰ卷
一、選擇題
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
B
B
B
A
C
A
D
C
第Ⅱ卷
二、填空題
9、3 , ; 10、
;
11、(A)
; (B)
;(C)
(
); 12、0.5 13、28 ,
三、解答題
14、(本小題滿分12分)
解:(Ⅰ)=
=+
=+
所以,的最小正周期
(Ⅱ)
由三角函數圖象知:
的取值范圍是
15、(本小題滿分12分)
方法一:
證:(Ⅰ)在Rt△BAD中,AD=2,BD=,
∴AB=2,ABCD為正方形,
因此BD⊥AC.
∵PA⊥平面ABCD,BDÌ平面ABCD,
∴BD⊥PA .
又∵PA∩AC=A
∴BD⊥平面PAC.
解:(Ⅱ)由PA⊥面ABCD,知AD為PD在平面ABCD的射影,又CD⊥AD,
∴CD⊥PD,知∠PDA為二面角P―CD―B的平面角.
又∵PA=AD,
∴∠PDA=450 .
(Ⅲ)∵PA=AB=AD=2
∴PB=PD=BD=
設C到面PBD的距離為d,由,
有,
即
,
得
方法二:
證:(Ⅰ)建立如圖所示的直角坐標系,
則A(0,0,0)、D(0,2,0)、P(0,0,2).
在Rt△BAD中,AD=2,BD=,
∴AB=2.
∴B(2,0,0)、C(2,2,0),
∴
∵
即BD⊥AP,BD⊥AC,又AP∩AC=A,
∴BD⊥平面PAC.
解:(Ⅱ)由(Ⅰ)得.
設平面PCD的法向量為,則
,
即,∴
故平面PCD的法向量可取為
∵PA⊥平面ABCD,∴為平面ABCD的法向量.
設二面角P―CD―B的大小為q,依題意可得,
∴q = 450 .
(Ⅲ)由(Ⅰ)得
設平面PBD的法向量為,則
,
即,∴x=y=z
故平面PBD的法向量可取為.
∵,
∴C到面PBD的距離為
16、(本小題滿分14分)
解:(1)設“甲射擊4次,至少1次未擊中目標”為事件A,則其對立事件為“4次均擊中目標”,則
(2)設“甲恰好擊中目標2次且乙恰好擊中目標3次”為事件B,則
(3)設“乙恰好射擊5次后,被中止射擊”為事件C,由于乙恰好射擊5次后被中止射擊,故必然是最后兩次未擊中目標,第三次擊中目標,第一次及第二次至多有一次未擊中目標。
故
17、(本小題滿分14分)
解:(Ⅰ)由
得
即
可得
因為,所以
解得
,因而
(Ⅱ)因為是首項
、公比
的等比數列,故
則數列的前n項和
前兩式相減,得
即
18、(本小題滿分14分)
解:(1) ,設切點為
,則曲線
在點P的切線的斜率
,由題意知
有解,
∴即
.
(2)若函數可以在
和
時取得極值,
則有兩個解
和
,且滿足
.
易得.
(3)由(2),得.
根據題意,(
)恒成立.
∵函數(
)在
時有極大值
(用求導的方法),
且在端點處的值為
.
∴函數(
)的最大值為
.
所以.
19、(本小題滿分14分)
解:(1)∵成等比數列 ∴
設是橢圓上任意一點,依橢圓的定義得
即為所求的橢圓方程.
(2)假設存在,因
與直線
相交,不可能垂直
軸
因此可設的方程為:
由
①
方程①有兩個不等的實數根
∴�、�
設兩個交點、
的坐標分別為
∴
∵線段恰被直線
平分 ∴
∵ ∴
③ 把③代入②得
∵ ∴
∴
解得
或
∴直線的傾斜角范圍為
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