1.已知函數(shù)y=f(x)=x²+1,則在x=2,Δx=0.1時(shí),Δy的值為(    )

A.0.40         B.0.41           C.0.43           D.0.44

分析 本題主要考查如何求函數(shù)的增量.

解 由函數(shù)值的增量公式Δy=f(x₀+Δx)-f(x₀),

得Δy=f(2+0.1)-f(2)=(2+0.1)²+1-(2²+1)=0.41.

答案 B

2.若曲線y=f(x)在點(diǎn)(x₀,f(x₀))處的切線方程為2x+y+1=0,則(   )

A.f′(x₀)>0          B.f′(x₀)=0

C.f′(x₀)<0          D.f′(x₀)不存在

分析 本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義.曲線在點(diǎn)x=x₀處的導(dǎo)數(shù),即為切線的斜率.

解 切線的方程為2x+y+1=0,即y=-2x-1,

斜率為-2,故曲線在x=x₀處的導(dǎo)數(shù)為-2,

即f′(x₀)=-2<0.

答案 C

3.設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x₀附近有定義,且有f(x₀+Δx)-f(x₀)=aΔx+b(Δx)²(a、b為常數(shù)),則(    )

A.f′(x)=a               B.f′(x)=b

C.f′(x₀)=a              D.f′(x₀)=b

分析 本題主要考查導(dǎo)數(shù)的概念.

解 ∵f(x₀+Δx)-f(x₀)=aΔx+b(Δx)²(a、b為常數(shù)),

∴f′(x₀)=

=(a+bΔx)=a.

答案 C

4.★一個(gè)距地心距離為r,質(zhì)量為m的人造衛(wèi)星,與地球之間的萬有引力F由公式F=給出,其中M為地球質(zhì)量,G為常量.則F對于r的瞬時(shí)變化率是(   )

A.           B.            C.           D.

分析 本題考查常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù).

解法一 ∵F==,

∴F′=-2GMmr^-3=-.

解法二 ∵F=,

∴F′=

答案 D

5.函數(shù)y=xcosx-sinx的導(dǎo)數(shù)為(    )

A.xsinx              B.-xsinx              C.xcosx            D.-xcosx

分析 本題主要考查兩個(gè)函數(shù)的差的導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則,即兩個(gè)函數(shù)差的導(dǎo)數(shù)等于它們的導(dǎo)數(shù)的差.

解 y′=(xcosx)′-(sinx)′=x′cosx+x(cosx)′-cosx=cosx-xsinx-cosx=-xsinx.

答案 B

6.已知函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)(2,1)處的切線與直線3x-y-2=0平行,則y′｜_x=2等于(   )

A.-3           B.-1           C.3          D.1

分析 本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義,即函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)(x₀,f(x₀))處的切線的斜率是y=f′(x₀).

解 ∵函數(shù)在點(diǎn)(2,1)處的切線的斜率等于直線3x-y-2=0的斜率,∴y′|_x=2=3.

答案 C

7.設(shè)f(x)=(x≠-1),則f′(x)等于(    )

A.3x²-2x+1                B.3x²+2x+1

C.3x²-2x-1                 D.x²-2x+1

分析 本題主要考查積、商函數(shù)的導(dǎo)數(shù).可直接求導(dǎo),也可先將函數(shù)變形,化成更便于求導(dǎo)的形式求導(dǎo),這樣可減少運(yùn)算量.

解法一 f′(x)=

=

=

=

=3x²-2x-1.

解法二 ∵f(x)==(x+1)(x-1)²=x³-x²-x+1,

∴f′(x)=3x²-2x-1.

答案 C

8.函數(shù)y=sin2x在點(diǎn)M()處的切線斜率為(   )

A.-1         B.-2          C.1         D.2

分析 本題主要考查復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及導(dǎo)數(shù)的幾何意義.

解∵y′=(sin2x)′=cos2x(2x)′=2cos2x,

∴=2cos(2×)=1.

答案 C

9.★設(shè)函數(shù)f(x)=1-e^x的圖象與x軸相交于點(diǎn)P,則曲線在點(diǎn)P處的切線的方程為(   )

A.y=-x        B.y=x       C.y=ex          D.y=-ex

分析 本題考查常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及導(dǎo)數(shù)的幾何意義.

解 令1-e^x=0,得x=0,∴P(0,0).

∵f(x)=1-e^x,∴f′(x)=-e^x.

∴f′(x)|_x=0=-e⁰=-1.

∴過點(diǎn)P(0,0),斜率為-1的直線方程是y=-x.

答案 A

10.若曲線y=x²-1與y=1-x³在x=x₀處的切線互相垂直,則x₀等于(   )

A.           B.-           C.          D.或0

分析 本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義及兩直線垂直的位置關(guān)系,即若兩直線的斜率都存在,則它們垂直的條件是斜率的乘積等于-1.

解 因?yàn)閮芍本�垂直且導(dǎo)數(shù)都存在且分別為y′=2x,y′=-3x²,

所以(2x)?(-3x²)=-1,

即x=.

答案 A

第Ⅱ卷(非選擇題共60分)

11.曲線y=2x³-x+2在點(diǎn)(1,3)處的切線方程是          .

分析　本題考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用及其幾何意義.

解　∵y=2x³-x+2,∴y′=6x²-1.

當(dāng)x=1時(shí),y′=6-1=5,∴直線的斜率為5,且過點(diǎn)(1,3).

∴直線方程為y-3=5(x-1),即5x-y-2=0.

答案　5x-y-2=0

12.某汽車啟動(dòng)階段的路程函數(shù)為s(t)=2t³-5t²,則t=2秒時(shí),汽車的瞬時(shí)速度是          .

分析 本題考查導(dǎo)數(shù)的物理意義,即瞬時(shí)速度是位移函數(shù)s(t)對時(shí)間t的導(dǎo)數(shù).

解 ∵s(t)=2t³-5t²,∴s′(t)=6t²-10t.

∴s′(t)|_t=2=6×2²-10×2=4.

答案 4

13.若曲線y=-x³+3與直線y=-6x+b相切,則b為         .

分析 本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義.關(guān)鍵是確定曲線上哪一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)等于-6.

解 y′=-3x².

令y′=-3x²=-6,得x=±.

把x=代入曲線方程中,得y=3-2.

把x=-代入曲線方程中,得y=3+2.

因?yàn)榍�線與直線y=-6x+b相切,

所以切點(diǎn)也在直線y=-6x+b上.

分別把(,3-2)、(-,3+2)代入直線方程中,得b₁=3+4,b₂=3-4.

答案　3±4

14.★若f′(x₀)=1,則             .

分析 本題考查導(dǎo)數(shù)的定義及極限的運(yùn)算法則.根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義式,把原式進(jìn)行一系列變形,湊定義式的結(jié)構(gòu)形式.至于用什么字母或符號(hào)表示自變量增量無關(guān)緊要.

解

答案

15.(本小題滿分8分)設(shè)函數(shù)f(x)=ax³+3x²+2,若f′(-1)=4,試求a的值.

分析 本題考查利用導(dǎo)數(shù)求參數(shù)的值.解題的關(guān)鍵是利用導(dǎo)數(shù)會(huì)列參數(shù)的方程.

解 ∵f(x)=ax³+3x²+2,

∴f′(x)=(ax³)′+(3x²)′   2分

=3ax²+6x.                4分

∵f′(-1)=4,∴3a-6=4.      6分

∴a=.                 8分

16.(本小題滿分8分)假設(shè)某國家在20年期間的年均通貨膨脹率為5%,物價(jià)p(單位:元)與時(shí)間t(單位:年)有如下函數(shù)關(guān)系:p(t)=p₀(1+5%)^t,其中p₀為t=0時(shí)的物價(jià).假定某種商品的p₀=1,那么在第10個(gè)年頭,這種商品的價(jià)格上漲的速度大約是多少?(精確到0.01)

分析 本題考查指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及導(dǎo)數(shù)的實(shí)際意義.

解 ∵p₀=1,∴p(t)=1.05^t.                                        2分

根據(jù)基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式,有p′(t)=1.05^tln1.05.               4分

∴p′(10)=1.05¹⁰ln1.05≈0.08(元/年).                            7分

因此,在第10個(gè)年頭,這種商品的價(jià)格約以0.08元/年的速度上漲.    8分

17.(本小題滿分8分)求函數(shù)y=(+1)(-1)的導(dǎo)數(shù).

分析 本題主要考查函數(shù)的和、差、積的導(dǎo)數(shù),培養(yǎng)靈活地處理問題的能力.可以整體運(yùn)用u?v型求導(dǎo)公式,也可先把函數(shù)式展開變形后再求導(dǎo).做一做,比較一下.

解法一 ∵y=(+1)(-1),

∴y′=(+1)′(-1)+(+1)(-1)′  3分

=(-1)-(+1)              5分

=-(1+).                            8分

解法二 ∵y=(+1)(-1)=+,

∴y′=-=

18.★(本小題滿分10分)已知拋物線y=ax²+bx+c通過點(diǎn)(1,1),且在點(diǎn)(2,-1)處與直線y=x-3相切,求a、b、c的值.

分析 本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義.函數(shù)在x=2處的導(dǎo)數(shù)等于直線y=x-3的斜率.由題意構(gòu)造出關(guān)于a、b、c的方程組,然后求解.

解 ∵f(1)=1,∴a+b+c=1.   ①   2分

又f′(x)=2ax+b,

∵f′(2)=1,∴4a+b=1    . ②   3分

又切點(diǎn)(2,-1),∴4a+2b+c=-1.③   6分

把①②③聯(lián)立得方程組

解得            9分

即a=3,b=-11,c=9.           10分

19.(本小題滿分10分)設(shè)試討論當(dāng)a、b為何值時(shí),f(x)在x=1處可導(dǎo).

分析 本題考查分段函數(shù)在接點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù).需依據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義,分別求解此函數(shù)在接點(diǎn)處的左導(dǎo)數(shù)與右導(dǎo)數(shù).

解 要使f(x)在x=1處可導(dǎo),則f(x)在x=1處必連續(xù),則+f(x)=f(1),即a+b=1.        2分

又若存在,則當(dāng)x=1時(shí),有=.                          5分

∵==(2+Δx)=2,

=　　　　　7分

∴b=2,a=-1,

即當(dāng)a=-1,b=2時(shí),函數(shù)f(x)在x=1處可導(dǎo).　　　　　　10分