連云港市2006屆高三第三次調(diào)研考試

數(shù)學(xué)

一、選擇題：

1．不等式的解集是　　　                                      （   ）

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A．　  　 B．　　　　 　C．　　　　 D．

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2．已知函數(shù)，是函數(shù)的反函數(shù)，若的圖象過點(diǎn)，則的值為　                                （    ）

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A．　　   　 B．　　　　　　C．4　　　        D．8

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3．過原點(diǎn)的直線與圓相切，若切點(diǎn)在第二象限，則該直線的方程是(   )           　　　　　　　

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　　A．　　　B．　　 　C．　　   D．

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4．已知點(diǎn),,,．給出下面的結(jié)論：①；②；③；④. 其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（   ）

A．1個(gè)　　　    B．2個(gè)　　　      C．3個(gè)　　　      D． 4個(gè)

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5．已知N*)的展開式中含有常數(shù)項(xiàng)，則的最小值是（　 ）

　�。粒�4　          Ｂ．5　　          Ｃ．9　           Ｄ．10

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6．某單位準(zhǔn)備用不同花色的裝飾石材分別裝飾辦公樓中的辦公室、走廊、大廳的地面及樓的外墻．現(xiàn)有編號(hào)為1～6的6種不同花色石材可供選擇，其中1號(hào)石材有微量的放射性，不可用于辦公室內(nèi)，則不同的裝飾效果共有            　  （　  ）

　A．350種　         B．300種　        C．65種　　       D．50種

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7．若是兩條不重合的直線，是兩個(gè)不重合的平面，則∥的一個(gè)充分而不必要條件是                                         （    ）

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A．∥,且∥   　    B．且∥

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C．,,且∥     　        D．∥∥,且∥       

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8．某電視機(jī)內(nèi)的一種晶體管使用時(shí)間在10000小時(shí)以上的概率為，則三個(gè)這樣的晶體管在使用10000小時(shí)后最多有一個(gè)壞了的概率為          　　 （    ）

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A．0.014  　　　  B．0.104           C．0.410　　　　　 D．0.401

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9．已知數(shù)列中，，對(duì)一切正整數(shù)n恒有，則的值為  （    ）

A．8 　　　     　B．10             C．20　　　  　  　D．38

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10．若方程在上有解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是        （   ）

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A． 　　   　B．           C．　　   D．∪

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二、填空題：

11．若曲線在點(diǎn)處的切線與直線平行，則點(diǎn)的坐標(biāo)是     ．

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12．已知實(shí)數(shù)滿足不等式組，那么函數(shù)的最大值是　　 　　　．

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13．已知，且，那么           ．

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14．橢圓的半焦距為，直線與橢圓的一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)恰為，則該橢圓的離心率為　　     　． 

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15．三棱錐中，平面ABC，，若，則該三棱錐外接球的體積是　　　　　　　．

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16．若函數(shù)是二次函數(shù)且滿足：對(duì)任意的，都有成立．則可以是　　 　　　　　（只需寫出一個(gè)即可）．

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三、解答題：

17．（本小題12分）

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已知中，角A, B, C所對(duì)的邊分別為，且．

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（1）若角為，求的值；

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（2）若，求的值．

 

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18．（本小題14分）

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已知兩個(gè)定點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為和，動(dòng)點(diǎn)滿足（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）．

（1）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡E的方程；

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（2）過點(diǎn)C的直線與軌跡E在x軸上方部分交于M、N兩點(diǎn)，線段MN的垂直平分線與x軸交于D點(diǎn)，求D點(diǎn)橫坐標(biāo)的取值范圍．

 

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19．（本小題14分）

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如圖，已知是正三棱柱，它的底面邊長(zhǎng)和側(cè)棱長(zhǎng)都是2，D為側(cè)棱的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)．

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（1）求證：；

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（2）求直線到平面的距離；

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（3）求二面角的大小．

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20．（本小題14分）

關(guān)于某港口今后20年的發(fā)展規(guī)劃，有如下兩種方案：

方案甲：按現(xiàn)狀進(jìn)行運(yùn)營(yíng)。據(jù)測(cè)算，每年可收入760萬元，但由于港口淤積日益嚴(yán)重，從明年開始需投資進(jìn)行清淤，第一年投資50萬元，以后逐年遞增20萬元。

方案乙：從明年起開始投資6000萬元進(jìn)行港口改造，以徹底根治港口淤積并提高吞吐能力。港口改造需用時(shí)4年，在此期間邊改造邊運(yùn)營(yíng)．據(jù)測(cè)算，開始改造后港口第一年的收入為320萬元，在以后的4年中，每年收入都比上一年增長(zhǎng)50%，而后各年的收入都穩(wěn)定在第5年的水平上。

（1）       從明年開始至少經(jīng)過多少年，方案乙能收回投資（累計(jì)總收益為正數(shù)）？

（2）       從明年開始至少經(jīng)過多少年，方案乙的累計(jì)總收益超過方案甲？

（收益＝收入－投資）

 

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21．（本小題16分）

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已知函數(shù)的定義域?yàn)?sub>，且同時(shí)滿足：①；②恒成立；③若，則有．

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（1）試求函數(shù)的最大值和最小值；

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（2）試比較與的大小N）；

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（3）某人發(fā)現(xiàn)：當(dāng)x=(nÎN)時(shí)，有f(x)<2x+2.由此他提出猜想：對(duì)一切xÎ(0,1,都有，請(qǐng)你判斷此猜想是否正確，并說明理由．

 

連云港市2006屆高三第三次調(diào)研考試

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一、選擇題

BCDC  BBCB  AA

二、填空題

11．（-1，0）；12．4；13．-4；14．-1；15．；16．x2(注：本題答案不唯一，只要滿足條件 a¹0,2|a|+|b|≤1即可)

三、解答題

17．解：由條件知20cos2A=3?,即10cos2A?sinA=3cosA,又cot¹tan,∴cosA¹0,

解得sin2A=.                     ?????????????????????????????????????????????????????????4分

(1)    若∠C=60º,則cos2B=cos2(120º-A)=cos(240º-2A)=-cos(60º-2A)=-(cos60ºcos2A+sin60ºsin2A)

=-.                         ??????????????????????????????????????????????????????????????7分

(2)    若a<b<c,則A<60º.又由sin2A=<,知0<2A<60º或2A>120º.∴A<30º.???????????????11分

∵(sinA-cosA)2=1-sin2A=,∴sinA-cosA=-.???????????????????????????????????????????????????????12分

18．解:(1)設(shè)P(x,y),則=(x+1,y),=(x-1,y),

   ∵,∴(x+1)2=(x-1)2+y2,????????????????????????????????????????????????????????????????????????2分

即y2=4x.     

動(dòng)點(diǎn)P的軌跡E的方程是y2=4x.      ???????????????????????????????????????????????????????????????????????4分

  (2)設(shè)直線l的方程為x=k(y-1),代入軌跡E的方程y2=4x,整理得:y2-4ky+4k=0.  ?????????6分

由題意知,(4k)2-4´4k>0且4k>0,解得k>1.    ???????????????????????????????????????????????????????????8分

由根與系數(shù)的關(guān)系可得MN的中點(diǎn)坐標(biāo)為(k(2k-1),2k),

∴線段MN垂直平分線方程為:y-2k=-k[x-k(2k-1)],        ?????????????????????????????????10分

令y=0,得D點(diǎn)的橫坐標(biāo)x0=2k2-k+2,

∵k>1,∴x0>3,即為所求.      ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????14分

19．(1)證明:連結(jié)C1E,則C1E^A1B1,

又∵A1B1^C1C,∴A1B1^平面EDC1,∴A1B­1^DE,

而A1B1//AB,∴AB^DE.   ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????4分

(2)取AB中點(diǎn)為F,連結(jié)EF,DF,則EF^AB,∴AB^DF.

   過E作直線EH^DF于H點(diǎn),則EH^平面DAB,∴EH就是直線A1B1到平面DAB的距離.

   在矩形C1EFC中,∵AA1=AB=2,∴EF=2,C1E=,DF=2,

∴在△DEF中,EH=,

故直線A1B1到平面DAB的距離為.         ???????????????????????????????????????????????????????????9分

(3)過A作AM^BC于M點(diǎn),則AM^平面CDB,

   過M作MN^BD于N點(diǎn),連結(jié)AN,則AN^BD,∴∠ANM即為所求二面角的平面角,

   在Rt△DCB中,BC=2,DC=1,M為BC中點(diǎn),∴MN=,

   在Rt△AMN中,tan∠ANM=,

    故二面角A-BD-C的大小為arctan.      ???????????????????????????????????????????????????????????????14分

20．解：（1）設(shè)從明年開始經(jīng)過第n年，方案乙的累計(jì)總收益為正數(shù)。

在方案乙中，前4年的總收入為

    =2600<6000,                       ?????????????????????????????????????????1分

故n必定不小于5，則由

    2600+320´1.54(n-4)>6000，                       ?????????????????????????????????????4分

解得 n>6,故n的最小值為7，

答: 從明年開始至少經(jīng)過7年，方案乙能收回投資。  ????????????????????????????????????????????6分

（2）設(shè)從明年開始經(jīng)過n年方案甲與方案乙的累計(jì)總收益分別為y1,y2萬元，則

y1=760n-[50n+n(n-1)?20]=-10n2+720n,    ???????????????????????????????????????????????????????????????8分

當(dāng)n≤4時(shí)，則y1>0,y2<0,可得y1>y2.          ???????????????????????????????????????????????????????????9分

當(dāng)n³5時(shí)，y2=2600+320´1.54(n-4)-6000=1620n-9880，

令y1<y2,可得1620n-9880>-10n2+720n,

即   n(n+90)>998,   ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????12分

由10(10+90)>998,9(9+90)<998,可得n的最小值為10.

答：從明年開始至少經(jīng)過10年，方案乙的累計(jì)總收益超過方案甲。 ??????????????????14分

21．解: (1)設(shè)0≤x1<x2≤1,則必存在實(shí)數(shù)tÎ(0,1),使得x2=x1+t,

   由條件③得,f(x2)=f(x1+t)³f(x1)+f(t)-2,

   ∴f(x2)-f(x1)³f(t)-2,

   由條件②得, f(x2)-f(x1)³0,

   故當(dāng)0≤x≤1時(shí),有f(0)≤f(x)≤f(1).                 ????????????????????????????????????????????????????????????3分

   又在條件③中,令x1=0,x2=1,得f(1)³f(1)+f(0)-2,即f(0)≤2,∴f(0)=2,   ??????????????????????????????5分

   故函數(shù)f(x)的最大值為3,最小值為2.                        ???????????????????????????????????6分

(2)解:在條件③中,令x1=x2=,得f()³2f()-2,即f()-2≤[f()-2],  ????????????????????????????9分

   故當(dāng)nÎN*時(shí)，有f()-2≤[f()-2]≤[f()-2]≤???≤[f()-2]=,

   即f()≤+2.

   又f()=f(1)=3≤2+,

   所以對(duì)一切nÎN,都有f()≤+2.                    ???????????????????????????????????????????????12分

(3)對(duì)一切xÎ(0,1,都有.

  對(duì)任意滿足xÎ(0,1，總存在n(nÎN),使得

        <x≤,                    ????????????????????????????????????????????????????????????????????????14分

  根據(jù)（1）（2）結(jié)論，可知：

f(x)≤f()≤+2,

且2x+2>2´+2=+2,

故有.

綜上所述，對(duì)任意xÎ(0,1,恒成立.   ?????????????????????????????????????????????16分

 


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