試卷類型：A

2009年廣東省廣州市普通高中畢業(yè)班綜合測試（二）

數(shù)  學(xué)（理科）

                                                                   2009.４

本試卷共4頁，21小題， 滿分150分。 考試用時120分鐘。

注意事項：

1．答卷前，考生務(wù)必用2B鉛筆在“考生號”處填涂考生號，用黑色字跡鋼筆或簽字筆將自己所在的市、縣/區(qū)、學(xué)校，以及自己的姓名和考生號、試室號、座位號填寫在答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（A）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。

2．選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項的答案信息點涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案，答案不能答在試卷上。

3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)的相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答的答案無效。

4．作答選做題時，請先用2B鉛筆填涂選做題的題（或題組號）對應(yīng)的信息點，再作答。漏涂、錯涂、多涂的，答案無效。

5．考生必須保持答題卡的整潔。考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回。

參考公式：錐體的體積公式， 其中是錐體的底面積， 是錐體的高．

球的表面積公式，其中為球的半徑．

如果事件、互斥，那么．

如果事件在一次試驗中發(fā)生的概率是，那么在次獨立重復(fù)試驗中恰好發(fā)生次的概率．

一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，滿分40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．                                               

1．如果復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則實數(shù)的值為

A．0                B．2                C．0或3              D．2或3

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2．已知函數(shù) 則函數(shù)的零點個數(shù)為

A．1                B．2                C．3                  D．4

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3．已知全集，集合≤，，則

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A．                     B．  

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C．                     D．

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4．命題“，”的否定是

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A．，≥0            B．，

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C．，≥0                D．，

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5．已知點，直線：，點是直線上的一點，若，則點的軌跡方程為

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A．            B．        C．        D．

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6．函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間上的圖像大致是

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image description

 

 

         A.                  B.                   C.                  D.

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7．現(xiàn)有4種不同顏色要對如圖1所示的四個部分進(jìn)行著色，要求有公共邊界的兩塊不能用同一種顏色，則不同的著色方法共有

A．24種                B．30種     C．36種         D．48種

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8．設(shè)直線與球有且只有一個公共點，從直線出發(fā)的兩個半平面、截球的兩個截面圓的半徑分別為和，二面角的平面角為，則球的表面積為

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A．                 B．       C．         D．

（一）必做題（9～12題）

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二、填空題：本大題共7小題，考生作答6小題，每小題5分，滿分30分．

9．在空間直角坐標(biāo)系中，以點，，為頂點的是以為斜邊的等腰直角三角形，則實數(shù)的值為        ．

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10．在某項才藝競賽中，有9位評委，主辦單位規(guī)定計算參賽者比賽成績的規(guī)則如下：剔除評委中的一個最高分和一個最低分后，再計算其他7位評委的平均分作為此參賽者的比賽成績．現(xiàn)有一位參賽者所獲9位評委一個最高分為86分、一個最低分為45分，若未剔除最高分與最低分時9位評委的平均分為76分，則這位參賽者的比賽成績?yōu)?u>     分．

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12．在平面內(nèi)有≥條直線，其中任何兩條不平行，任何三條不過同一點，若這條直線把平面分成個平面區(qū)域，則的值是         ，的表達(dá)式是        ．

 

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（二）選做題（13～15題，考生只能從中選做兩題）                          

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13．（幾何證明選講選做題）如圖3所示，在四邊形中，， 

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，則的值為          ．

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14．（不等式選講選做題） 函數(shù)的最小值為   　　．

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15．（坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題）直線被圓（為參數(shù)）所截得的弦長為             ．

 

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三、解答題：本大題共6小題，滿分80分．解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟．

16．（本小題滿分12分）

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已知向量，，設(shè)函數(shù)．

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（1）求函數(shù)的值域；

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（2） 已知銳角的三個內(nèi)角分別為，，，若，，求 的值．

 

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17．（本小題滿分12分）

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在長方體中，，過、、三點的平面截去長方體的一個角后，得到如圖4所示的幾何體，且這個幾何體的體積為．

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（1）求棱的長；

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（2）在線段上是否存在點，使直線與垂直，

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如果存在，求線段的長，如果不存在，請說明理由．

 

 

 

 

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18．（本小題滿分14分）

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已知等比數(shù)列的前項和為，若，，成等差數(shù)列，試判斷，，是否成等差數(shù)列，并證明你的結(jié)論．

 

 

 

 

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19．（本小題滿分14分）

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一個口袋中裝有2個白球和個紅球（≥2且），每次從袋中摸出兩個球（每次摸球后把這兩個球放回袋中），若摸出的兩個球顏色相同為中獎，否則為不中獎．

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    （1）試用含的代數(shù)式表示一次摸球中獎的概率；

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    （2）若，求三次摸球恰有一次中獎的概率；

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（3）記三次摸球恰有一次中獎的概率為，當(dāng)為何值時，最大？

 

 

 

 

 

 

 

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20．（本小題滿分14分）

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已知函數(shù)，，其中．

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（1）若是函數(shù)的極值點，求實數(shù)的值；

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（2）若對任意的（為自然對數(shù)的底數(shù)）都有≥成立，求實數(shù)的取值范圍．

 

 

 

 

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21．（本小題滿分14分）

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已知雙曲線：的離心率為，左、右焦點分別為、，在雙曲線上有一點，使，且的面積為．

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（1）求雙曲線的方程；

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（2）過點的動直線與雙曲線的左、右兩支分別相交于兩點、，在線段 上取異于、的點，滿足．證明：點總在某定直線上．

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2009年廣州市普通高中畢業(yè)班綜合測試（二）

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說明：1．參考答案與評分標(biāo)準(zhǔn)指出了每道題要考查的主要知識和能力，并給出了一種或幾種解法供參考，如果考生的解法與參考答案不同，可根據(jù)試題主要考查的知識點和能力比照評分標(biāo)準(zhǔn)給以相應(yīng)的分?jǐn)?shù)．

      2．對解答題中的計算題，當(dāng)考生的解答在某一步出現(xiàn)錯誤時，如果后繼部分的解答未改變該題的內(nèi)容和難度，可視影響的程度決定后繼部分的得分，但所給分?jǐn)?shù)不得超過該部分正確解答應(yīng)得分?jǐn)?shù)的一半；如果后繼部分的解答有較嚴(yán)重的錯誤，就不再給分．

      3．解答右端所注分?jǐn)?shù)，表示考生正確做到這一步應(yīng)得的累加分?jǐn)?shù)．

4．只給整數(shù)分?jǐn)?shù)，選擇題和填空題不給中間分．

 

一、選擇題：本大題考查基本知識和基本運(yùn)算．共8小題，每小題5分，滿分40分．

題號

1

2

3

4

5

6

7

8

答案

A

C

B

C

B

A

D

D

 

二、填空題：本大題共7小題，每小題5分，滿分30分．其中13~15題是選做題，考生只能選做二題，三題全答的，只計算前二題得分．第12題第1個空3分，第2個空2分.

9．2          10．79         11．0 或 2       12．16，

13．1         14．3          15．6

三、解答題：本大題共6小題，滿分80分．解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟．

16．（本小題主要考查三角函數(shù)性質(zhì)和三角函數(shù)的基本關(guān)系等知識，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，以及運(yùn)算求解能力）

解：（1）

                 ．                

∵，

∴函數(shù)的值域為．                                     

（2）∵，，∴，．

∵都為銳角，∴，．

∴                    

                  

            ．

∴的值為．                                      

 

17．（本小題主要考查空間線面關(guān)系、幾何體的表面積與體積等基本知識，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力和運(yùn)算求解能力）

解：（1）設(shè),∵幾何體的體積為，

∴，                      

即，

即，解得．

∴的長為4．                                           

（2）在線段上存在點，使直線與垂直．     

以下給出兩種證明方法：

方法1：過點作的垂線交于點，過點作 

交于點．

∵，，，

∴平面．

∵平面，∴．

∵，∴平面．

∵平面，∴．      

在矩形中，∵∽，

∴，即，∴．

∵∽，∴，即，∴．

在中，∵，∴．

由余弦定理，得

．

∴在線段上存在點,使直線與垂直，且線段的長為．

方法2：以點為坐標(biāo)原點，分別以，，所在的直線為軸，軸，軸建立如圖的空間直角坐標(biāo)系，由已知條件與（1）可知，，，，  

假設(shè)在線段上存在點≤≤2，，0≤≤

使直線與垂直，過點作交于點．

 

由∽，得，

∴．

∴．

∴，．

∵，∴，

即，∴．       

此時點的坐標(biāo)為，在線段上．

∵，∴．

∴在線段上存在點，使直線與垂直，且線段的長為．

18．（本小題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項公式與前項和公式等基礎(chǔ)知識，考查化歸與轉(zhuǎn)化、分類與整合的數(shù)學(xué)思想方法，以及推理論證能力和運(yùn)算求解能力）

解：設(shè)等比數(shù)列的首項為，公比為，

若，，成等差數(shù)列，

則．

∴．

∵，，∴．

解得或．             

當(dāng)時，∵，，，         

∴．

∴當(dāng)時，，，不成等差數(shù)列．

當(dāng)時，，，成等差數(shù)列．下面給出兩種證明方法．

證法1：∵

                            

                            ，

∴．

∴當(dāng)時，，，成等差數(shù)列．

證法2：∵，          

又

              ， 

∴．

∴當(dāng)時，，，成等差數(shù)列． 

19．（本小題主要考查等可能事件、互斥事件和獨立重復(fù)試驗等基礎(chǔ)知識，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，以及推理論證能力和運(yùn)算求解能力）

解：（1）∵一次摸球從個球中任選兩個，有種選法，                         

任何一個球被選出都是等可能的，其中兩球顏色相同有種選法，

∴一次摸球中獎的概率．             

（2）若，則一次摸球中獎的概率，                  

三次摸球是獨立重復(fù)試驗，三次摸球恰有一次中獎的概率是

．                                    

（3）設(shè)一次摸球中獎的概率為，則三次摸球恰有一次中獎的概率為，，

∵，

∴在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)．              

∴當(dāng)時，取得最大值．

∵≥，

解得．

故當(dāng)時，三次摸球恰有一次中獎的概率最大．                 

 

20．（本小題主要考查函數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)等知識，考查化歸與轉(zhuǎn)化、分類與整合的數(shù)學(xué)思想方法，以及抽象概括能力、推理論證能力和運(yùn)算求解能力）

（1）解法1：∵，其定義域為，  

∴．                

∵是函數(shù)的極值點，∴，即．                                         

∵，∴．                                               

經(jīng)檢驗當(dāng)時，是函數(shù)的極值點，

∴．　                                            

解法2：∵，其定義域為，

∴．               

令，即，整理，得．

∵，

∴的兩個實根（舍去），，

當(dāng)變化時，，的變化情況如下表：

―

0

＋

極小值

依題意，，即，

∵，∴．                           

（2）解：對任意的都有≥成立等價于對任意的都有≥．                       

當(dāng)［1，］時，

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