初論數(shù)學思想的教學功能

中學數(shù)學教學過程，實質上是運用各種教學理論進行數(shù)學知識教學的過程。在這個過程中，必然要涉及數(shù)學思想的問題。因為數(shù)學思想是人類思想文化寶庫中的瑰寶，是數(shù)學的精髓，它對數(shù)學教育具有決定性的指導意義。本文對這個概念的意義及在教學中的作用作一探討。希望能再引起廣大數(shù)學教育工作者的關注。

一、對中學數(shù)學思想的基本認識

“數(shù)學思想”作為數(shù)學課程論的一個重要概念，我們完全有必要對它的內涵與外延形成較為明確的認識。關于這個概念的內涵，我們認為：數(shù)學思想是人們對數(shù)學科學研究的本質及規(guī)律的理性認識。這種認識的主體是人類歷史上過去、現(xiàn)在以及將來有名與無名的數(shù)學家；而認識的客體，則包括數(shù)學科學的對象及其特性，研究途徑與方法的特點，研究成就的精神文化價值及對物質世界的實際作用，內部各種成果或結論之間的互相關聯(lián)和相互支持的關系等�？梢姡�這些思想是歷代與當代數(shù)學家研究成果的結晶，它們蘊涵于數(shù)學材料之中，有著豐富的內容。

通常認為數(shù)學思想包括方程思想、函數(shù)思想、數(shù)形結合思想、轉化思想、分類討論思想和公理化思想等。這些都是對數(shù)學活動經(jīng)驗通過概括而獲得的認識成果。既然是認識就會有不同的見解，不同的看法。實際上也確實如此，例如，有人認為中學數(shù)學教材可以用集合思想作主線來編寫，有人認為以函數(shù)思想貫穿中學數(shù)學內容更有利于提高數(shù)學教學效果，還有人認為中學數(shù)學內容應運用數(shù)學結構思想來處理等等。盡管看法各異，但筆者認為，只要是在充分分析、歸納概括數(shù)學材料的基礎上來論述數(shù)學思想，那么所得的結論總是可能做到并行不悖、互為補充的，總是能在中學數(shù)學教材中起到積極的促進作用的。

關于這個概念的外延，從量的方面講有宏觀、中觀和微觀之分。

屬于宏觀的，有數(shù)學觀(數(shù)學的起源與發(fā)展、數(shù)學的本能和特征、數(shù)學與現(xiàn)實世界的關系)，數(shù)學在科學中的文化地位，數(shù)學方法的認識論、方法論價值等；屬于中觀的，有關于數(shù)學內部各個部門之間的分流的原因與結果，各個分支發(fā)展過程中積淀下來的內容上的對立與統(tǒng)一的相克相生的關系等；屬于微觀結構的，則包含著對各個分支及各種體系結構中特定內容和方法的認識，包括對所創(chuàng)立的新概念、新模型、新方法和新理論的認識。

從質的方面說，還可分成表層認識與深層認識、片面認識與完全認識、局部認識與全面認識、孤立認識與整體認識、靜態(tài)認識與動態(tài)認識、唯心認識與唯物認識、謬誤認識和正確認識等。

二、數(shù)學思想的特性和作用

數(shù)學思想是在數(shù)學的發(fā)展史上形成和發(fā)展的，它是人類對數(shù)學及其研究對象，對數(shù)學知識（主要指概念、定理、法則和范例)以及數(shù)學方法的本質性的認識。它表現(xiàn)在對數(shù)學對象的開拓之中，表現(xiàn)在對數(shù)學概念、命題和數(shù)學模型的分析與概括之中，還表現(xiàn)在新的數(shù)學方法的產(chǎn)生過程中。它具有如下的突出特性和作用。

(一)數(shù)學思想凝聚成數(shù)學概念和命題，原則和方法

我們知道，不同層次的思想，凝聚成不同層次的數(shù)學模型和數(shù)學結構，從而構成數(shù)學的知識系統(tǒng)與結構。在這個系統(tǒng)與結構中，數(shù)學思想起著統(tǒng)帥的作用。

(二)數(shù)學思想深刻而概括，富有哲理性

各種各樣的具體的數(shù)學思想，是從眾多的具體的個性中抽取出來且對個性具有普遍指導意義的共性。它比某個具體的數(shù)學問題(定理法則等)更具有一般性，其概括程度相對較高�，F(xiàn)實生活中普遍存在的運動和變化、相輔相成、對立統(tǒng)一等“事實”，都可作為數(shù)學思想進行哲學概括的材料，這樣的概括能促使人們形成科學的世界觀和方法論。

(三)數(shù)學思想富有創(chuàng)造性

借助于分析與歸納、類比與聯(lián)想、猜想與驗證等手段，可以使本來較抽象的結構獲得相對直觀的形象的解釋，能使一些看似無處著手的問題轉化成極具規(guī)律的數(shù)學模型。從而將一種關系結構變成或映射成另一種關系結構，又可反演回來，于是復雜問題被簡單化了，不能解的問題的解找到了。如將著名的哥尼斯堡七橋問題轉化成一筆畫問題，便是典型的一例。當時，數(shù)學家們在作這些探討時是很難的，是零零碎碎的，有時為了一個模型的建立，一種思想的概括，要付出畢生精力才能得到，這使后人能從中得到真知灼見，體會到創(chuàng)造的艱辛，發(fā)展頑強奮戰(zhàn)的個性，培養(yǎng)創(chuàng)造的精神。

三、數(shù)學思想的教學功能

我國《九年義務教育全日制初級中學數(shù)學教學大綱(試用修訂版)》明確指出：“初中數(shù)學的基礎知識主要是初中代數(shù)、幾何中的概念、法則、性質、公式、公理、定理以及由其內容所反映出來的數(shù)學思想和方法”。根據(jù)這一要求，在中學數(shù)學教學中必須大力加強對數(shù)學思想和方法的教學與研究。

(一)數(shù)學思想是教材體系的靈魂?

從教材的構成體系來看，整個初中數(shù)學教材所涉及的數(shù)學知識點匯成了數(shù)學結構系統(tǒng)的兩條“河流”。一條是由具體的知識點構成的易于被發(fā)現(xiàn)的“明河流”，它是構成數(shù)學教材的“骨架”；另一條是由數(shù)學思想方法構成的具有潛在價值的“暗河流”，它是構成數(shù)學教材的“血脈”靈魂。有了這樣的數(shù)學思想作靈魂，各種具體的數(shù)學知識點才不再成為孤立的、零散的東西。因為數(shù)學思想能將“游離”狀態(tài)的知識點(塊)凝結成優(yōu)化的知識結構，有了它，數(shù)學概念和命題才能活起來，做到相互緊扣，相互支持，以組成一個有機的整體�？梢�，數(shù)學思想是數(shù)學的內在形式，是學生獲得數(shù)學知識、發(fā)展思維能力的動力和工具。教師在教學中如能抓住數(shù)學思想這一主線，便能高屋建瓴，提挈教材進行再創(chuàng)造，才能使教學見效快，收益大。

(二)數(shù)學思想是我們進行教學設計的指導思想

筆者認為，數(shù)學課堂教學設計應分三個層次進行，這便是宏觀設計、微觀設計和情境設計。無論哪個層次上的設計，其目的都在于為了讓學生“參與”到獲得和發(fā)展真理性認識的數(shù)學活動過程中去。這種設計不能只是數(shù)學認識過程中的“還原”，一定要有數(shù)學思想的飛躍和創(chuàng)造。這就是說，一個好的教學設計，應當是歷史上數(shù)學思想發(fā)生、發(fā)展過程的模擬和簡縮。例如初中階段的函數(shù)概念，便是概括了變量之間關系的簡縮，也應當是滲透現(xiàn)代數(shù)學思想、使用現(xiàn)代手段實現(xiàn)的新的認識過程。又如高中階段的函數(shù)概念，便滲透了集合關系的思想，還可以是在現(xiàn)實數(shù)學基礎上的概括和延伸，這就需要搞清楚應概括怎樣的共性，如何準確地提出新問題，需要怎樣的新工具和新方法等等。對于這些問題，都需要進行預測和創(chuàng)造，而要順利地完成這一任務，必須依靠數(shù)學思想作為指導。有了深刻的數(shù)學思想作指導，才能做出智慧熠爍的創(chuàng)新設計來，才能引發(fā)起學生的創(chuàng)造性的思維活動來。這樣的教學設計，才能適應瞬息萬變的技術革命的要求�？恳回炄绱嗽O計的課堂教學培養(yǎng)出來的人才，方能在21世紀的激烈競爭中立于不敗之地。

(三)數(shù)學思想是課堂教學質量的重要保證

數(shù)學思想性高的教學設計，是高質量進行教學的基本保證。在數(shù)學課堂教學中，教師面對的是幾十個學生，這幾十個智慧的頭腦會提出各種各樣的問題。隨著新技術手段的現(xiàn)代化，學生知識面的拓寬，他們提出的許多問題是教師難以解答的。面對這些活潑肯鉆研的學生所提的問題，教師只有達到一定的思想深度，才能保證準確辨別各種各樣問題的癥結，給出中肯的分析；才能恰當適時地運用類比聯(lián)想，給出生動的陳述，把抽象的問題形象化，復雜的問題簡單化；才能敏銳地發(fā)現(xiàn)學生的思想火花，找到閃光點并及時加以提煉升華，鼓勵學生大膽地進行創(chuàng)造，把眾多學生牢牢地吸引住，并能積極主動地參與到教學活動中來，真正成為教學過程的主體；也才能使有一定思想的教學設計，真正變成高質量的數(shù)學教學活動過程。

有人把數(shù)學課堂教學質量理解為學生思維活動的質和量，就是學生知識結構，思維方法形成的清晰程度和他們參與思維活動的深度和廣度。我們可以從“新、高、深”三個方面來衡量一堂數(shù)學課的教學效果�！靶隆敝笇W生的思維活動要有新意，“高”指學生通過學習能形成一定高度的數(shù)學思想，“深”則指學生參與到教學活動的程度。

有思想深度的課，能給學生留下長久的思想激動和對知識的深刻理解，在以后的學習和工作中，他們可能把具體的數(shù)學知識忘了，但數(shù)學地思考問題的方法將永存。我們進行數(shù)學教學的根本目的，是通過數(shù)學知識和觀念的培養(yǎng)，通過一些數(shù)學思想的傳授，要讓學生形成一種“數(shù)學頭腦”，使他們在觀察問題和提出問題、解決問題的每一個過程中，都帶有鮮明的“數(shù)學色彩”，這樣的數(shù)學一定會有真正的實效和長效，真正提高人的素質。

數(shù)學課堂教學是教師“主體表演”的過程，是語言、動作、板書演示、語言交流、情感交流等融于一體的過程。在這種過程中，往往既能反映出教師專業(yè)基礎知識的情況，又能反映出教師對教學理論的掌握情況，同時還可反映出教師的數(shù)學思想的有關情況。實踐證明，在數(shù)學教學中，數(shù)學思想、方法已經(jīng)越來越多地得到人們的重視，特別是在數(shù)學教學中，如何使學生較快地理解和掌握數(shù)學思想、方法，更是我們廣大中學數(shù)學教師所關心的問題。