江蘇省通州市2009屆高三第六次調(diào)研測(cè)試
數(shù)學(xué)試卷
（考試時(shí)間：120分鐘 滿分160分）
一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共70分．
1．函數(shù)
的定義域?yàn)?u> .
2．已知復(fù)數(shù)與
均為純虛數(shù)，則等于 ．
3．已知向量
，向量滿足∥，且
，則=
。
4．在等比數(shù)列{an}中，已知a4＋a10=10，且
，則= ．
5．已知命題：“
，使x2+2x+a≥
范圍是 ．
6．如圖，程序執(zhí)行后輸出的結(jié)果為 ．
7．下列命題正確的序號(hào)是_____ ．
（其中l，m表示直線，
表示平面）
(1)若
； (2)若
；
(3)若
；
(4)若
8． 用單位立方塊搭一個(gè)幾何體，使它的主視圖和俯視圖如右圖所示，
則它的體積的最大值與最小值之差為 ．
9．已知
，則當(dāng)mn取得最小值時(shí)，橢圓
的離心率為
．
10．對(duì)任意兩個(gè)集合A、B，定義：
，
，設(shè)
，
，則
11．若
，且當(dāng)
時(shí)，恒有
，則以,b為坐標(biāo)點(diǎn)
所形成的平面區(qū)域的面積等于 ．
12．已知兩個(gè)不共線的向量，的夾角為，且
.若點(diǎn)M在直線OB上，且
的最小值為，則的值為 ．
13．設(shè)函數(shù)
，若
時(shí)，
恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是
_
.
14．f（x）是定義在（0，＋∞）上的非負(fù)可導(dǎo)函數(shù)，且滿足
，對(duì)任意正數(shù)a、b，若a＜b，則
的大小關(guān)系為
．
二、解答題：解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．
15．（本題滿分14分）在△ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，若
（1）判斷△ABC的形狀；
（2）若
的值.
16．（本題滿分14分）一個(gè)四棱錐的三視圖和直觀圖如圖所示，E為側(cè)棱PD的中點(diǎn).
（1）求證：PB//平面AEC；
（2）若F為側(cè)棱PA上的一點(diǎn)，且
， 則為何值時(shí)，PA平面BDF？ 并求此時(shí)幾何體F―BDC的體積．
 |
 |
17．（本題滿分15分）已知圓A：
與軸負(fù)半軸交于B點(diǎn)，過B的弦BE與軸正半軸交于D點(diǎn)，且2BD=DE，曲線C是以A，B為焦點(diǎn)且過D點(diǎn)的橢圓．
（1）求橢圓的方程；
（2）點(diǎn)P在橢圓C上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q在圓A上運(yùn)動(dòng)，求PQ+PD的最大值．
18．（本題滿分15分）
如圖所示，一條直角走廊寬為
⑴若平板車卡在直角走廊內(nèi)，且∠
，試求平板面的長 (用表示)；
⑵若平板車要想順利通過直角走廊，其長度不能超過多少米?
19．（本題滿分16分）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，點(diǎn)
在直線
上．?dāng)?shù)列滿足：
，且
，前9項(xiàng)和為153．
（1）求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)
，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求使不等式
對(duì)一切
都成立的最大正整數(shù)的值；
（3）設(shè)
*，
問是否存在
，使得
成立？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．
20．（本題滿分16分）函數(shù)
．
（1）試求f(x)的單調(diào)區(qū)間；
（2）當(dāng)a>0時(shí)，求證：函數(shù)f(x)的圖像存在唯一零點(diǎn)的充要條件是a=1；
（3）求證：不等式
對(duì)于
恒成立．
數(shù)學(xué)附加題
考試時(shí)間：30分鐘 滿分40分
分．每小題10分，共20分．解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算過程．
一、選答題：本大題共4小題，請(qǐng)從這4題中選做2小題．如果多做，則按所做的前兩題記
1.(選修4一l：幾何證明選講)
如圖，圓O的直徑
,C為圓周上一點(diǎn)，
,過C作圓的切線l，過A作l的垂線AD,AD分別與直線l、圓交于點(diǎn)D、E。求
的度數(shù)與線段AE的長。
2.(選修4―2：矩陣與變換)
已知二階矩陣A的屬于特征值－1的一個(gè)特征向量為，屬于特征值3的一個(gè)特征向量為，求矩陣A．
3.(選修4―4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程)
已知直線和參數(shù)方程為
,是橢圓
上任意一點(diǎn)，求點(diǎn)到直線的距離的最大值．
4.(選修4―5：不等式選講)
已知f(x)＝
定義在區(qū)間[－1，1]上,設(shè)x1，x2∈[－1，1]且x1≠x2．
(1)求證: | f(x1)－f(x2)|≤| x1－x2| (2)若a2＋b2＝1，求證：f(a)＋f(b) ≤．
選做題一：
選做題二：
二、必答題：本大題共2小題。每小題10分，共20分．解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算過程．
5. 將一顆質(zhì)地均勻的正方體骰子（六個(gè)面的點(diǎn)數(shù)分別為1，2，3，4，5，6）先后拋擲兩次，記第一次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為a，第二次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為b．設(shè)復(fù)數(shù)
(i是虛數(shù)單位)。
（1）求事件“為實(shí)數(shù)”的概率；
（2）求事件“
”的概率。
6. 如圖，直三棱柱A1B
（1）求與平面A
(2) 求二面角B―A1D―A的平面角的正切值；
（3）在線段AC上是否存在一點(diǎn)F，使得EF⊥平面A1BD？
江蘇省通州市2009屆高三第六次調(diào)研測(cè)試
一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共70分．
1．
2．2i 3．（
）或（
） 4．16 5．a(chǎn)≥-8 6．64 7．（1）(3)(4) 8．6 9． 10．
11．1 12．
13．(－∞，1)
14．
，提示：設(shè)
，則
，故為增函數(shù)，由a＜b，有
，也可以考慮特例，如f(x)=x2
二、解答題：解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．
15．（1）
5分
即
為等腰三角形. 8分
（2）由（I）知
12分
14分
16．（1）由圖形可知該四棱錐和底面ABCD是菱形，且有一角為，邊長為2，
錐體高度為1。
設(shè)AC，BD和交點(diǎn)為O，連OE，OE為△DPB的中位線，
OE//PB， 3分
EO面EAC，PB面EAC內(nèi)， PB//面AEC。 6分
（2）過O作OFPA垂足為F ,
在Rt△POA中，PO=1，AO=，PA=2，在Rt△POB中，PO=1，BO=1，PB=， 8分
過B作PA的垂線BF，垂足為F，連DF，由于△PAB≌△PAD，故DF⊥PA，DF∩BF=F，因此PA⊥面BDF. 10分
在等腰三角形PAB中解得AF=,進(jìn)而得PF=
即當(dāng)
時(shí)，PA面BDF，
12分
此時(shí)F到平面BDC的距離FH=
14分
17．(1)
4分
橢圓方程為
7分
（2）
10分
＝2
14分
所以P在DB延長線與橢圓交點(diǎn)處，Q在PA延長線與圓的交點(diǎn)處，得到最大值為
． 15分
18．（1）DM=，DN=
，MF=，EN=，
4分
=EF=DM+DN-MF-EN=+－－
=
（
）
7分
（2）“平板車要想順利通過直角走廊”即對(duì)任意角（），平板車的長度不能超過，即平板車的長度
；記
，有
=
，
==
=，
10分
此后研究函數(shù)的最小值，方法很多；如換元（記
，則
）或直接求導(dǎo)，以確定函數(shù)在
上的單調(diào)性；當(dāng)
時(shí)取得最小值
。
15分
19． (1)點(diǎn)(n，)在直線y＝x＋上，∴＝n＋，即Sn＝n2＋n，
an＝n＋5． 3分
∵bn+2－2bn+1＋bn＝0(nÎN*)，∴bn+2－bn+1＝ bn+1－bn＝…＝ b2－b1．
∴數(shù)列{bn}是等差數(shù)列，∵b3＝11，它的前9項(xiàng)和為153，設(shè)公差為d，
則b1＋2d＝11，9b1＋×d＝153，解得b1＝5，d＝3．∴bn＝3n＋2． 6分
(2)由(1)得，cn＝ ＝ ＝(－)，
∴Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn＝(1－)＋(－)＋(－)＋…＋(－)
＝(1－)． 9分
∵Tn＝(1－)在nÎN*上是單調(diào)遞增的，∴Tn的最小值為T1＝．
∵不等式Tn＞對(duì)一切nÎN*都成立，∴＜．∴k＜19．∴最大正整數(shù)k的值為18．11分
(3) nÎN*，f(n)＝＝
當(dāng)m為奇數(shù)時(shí)，m＋15為偶數(shù)；當(dāng)m為偶數(shù)時(shí)，m＋15為奇數(shù)．
若f(m＋15)＝
或m＋15＋5＝5（
解得m＝11．所以當(dāng)m＝11時(shí)，f(m＋15)＝
20．（1）
．
2分
當(dāng)時(shí)，
，在
上單調(diào)遞增；
3分
當(dāng)時(shí)，
時(shí)，
，在上單調(diào)遞減；
時(shí)，，在
上單調(diào)遞增．
5分
綜上所述，當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為．
6分
（2）充分性：a=1時(shí)，由（1）知，在x=1處有極小值也是最小值，
即
。而在上單調(diào)遞減，在
上單調(diào)遞增，
在上由唯一的一個(gè)零點(diǎn)x=1．
9分
必要性： =0在上有唯一解，且a>0, 由（1）知，在x=a處有極小值也是最小值f(a)， f(a)=0,即
．
令
，
．
當(dāng)
時(shí)，
，在上單調(diào)遞增；當(dāng)a>1時(shí)，
，
在上單調(diào)遞減。
， =0只有唯一解a=1．
=0在上有唯一解時(shí)必有a=1．
12分
綜上：在a>0時(shí)， =0在上有唯一解的充要條件是a=1．
（3）證明：∵1<x<2,∴
.
令
，∴
，14分
由（1）知，當(dāng)a=1時(shí)，，∴
，∴
．
∴
，∴F（x）在（1，2）上單調(diào)遞增，∴
，
∴
�！�
．
16分
附加題答案
1．解：如圖，連結(jié)OC，因
,因此
,由于
,
所以
，又
得
; 5分
又因?yàn)?sub>
,得
,那么
,
從而
，于是
。
10分
2．解：設(shè)A=
，由題知
=，
=3
即
，
5分
∴ ∴A=
10分
3．解： 直線的參數(shù)方程為
為參數(shù)）故直線的普通方程為
3分
因?yàn)闉闄E圓
上任意點(diǎn)，故可設(shè)
其中
.
因此點(diǎn)到直線的距離是
7分
所以當(dāng)
，時(shí)，取得最大值.
10分
4. 證（1）
∵
，
，
∴| f(x1)－f(x2)|＜| x1－x2| 5分
（2）
，∴f(a)＋f(b) ≤
∵
，
∴
10分
5.解：（1）為實(shí)數(shù)，即
為實(shí)數(shù)， ∴b＝3
2分
又依題意，b可取1，2，3，4，5，6
故出現(xiàn)b＝3的概率為
即事件“為實(shí)數(shù)”的概率為 5分
（2）由已知，
6分
可知，b的值只能取1、2、3
當(dāng)b＝1時(shí)， 
，即a可取1，2，3
當(dāng)b＝2時(shí)， 
，即a可取1，2，3
當(dāng)b＝3時(shí)， 
，即a可取2
由上可知，共有7種情況下可使事件“
”成立 9分
又a，b的取值情況共有36種
故事件“”的概率為
10分
6.解：（1）∵A1B
∵AC⊥CB ∴BC⊥平面A
∴A1B與平面A
3分
（2）分別延長AC，A1D交于G. 過C作CM⊥A
∵BC⊥平面ACC
∴BM⊥A
平面A
∴CG=2，DC=1 在直角三角形CDG中，
,
即二面角B―A1D―A的平面角的正切值為 6分
（3）在線段AC上存在一點(diǎn)F，使得EF⊥平面A1BD .
其位置為AC中點(diǎn)，證明如下：
∵A1B
∵由（1）BC⊥平面A
∵EF在平面A
同理可證EF⊥BD, ∴EF⊥平面A1BD
∵E為定點(diǎn)，平面A1BD為定平面,點(diǎn)F唯一 10分
解法二：（1）同解法一 3分
（2）∵A1B
C（0，0，0） B（2，0，0） A（0，2，0）
C1（0，0，2） B1（2，0，2） A1（0，2，2）
D（0，0，1） E（1，0，2）
設(shè)平面A1BD的法向量為
平面ACC
即二面角B―A1D―A的平面角的正切值為 6分
（3）在線段AC上存在一點(diǎn)F，設(shè)F（0，y，0）使得EF⊥平面A1BD
欲使EF⊥平面A1BD 由（2）知，當(dāng)且僅當(dāng)//
∴存在唯一一點(diǎn)F（0，1，0）滿足條件. 即點(diǎn)F為AC中點(diǎn) 10分
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