云南省曲靖一中2009年高考沖刺卷（六）
理科數學
本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，滿分150分，考試時間120分鐘。
第Ⅰ卷（選擇題，共60分）
一、選擇題：本大題共12小題。每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只
1．復數
A． B． C． D．
2．設集合，且，且，則中的
元素個數是
A．9 B．11 C．12 D．14
3．若，則，，的大小關系是
A． B． C． D．
4．設變量，滿足約束條件，則目標函數的最大值為
A．5 B．4 C．1 D．
5．據統(tǒng)計，甲、乙兩人投籃的命中率分別為0．5、0．4，若甲、乙兩人各投一次，則有人
投中的概率是
A．0．2 B．0．3 C．0．7 D．0．8
6．展開式中含的系數是
A．6 B．12 C．24 D．48
7．設，則在上的最大值與最小值分別
是
A．與 B．1與 C．與 D．1與
8．某地區(qū)的經濟在某段時間內經歷了高漲、保持、下滑、危機、蕭條、復蘇幾個階段，則
該地區(qū)的經濟量隨時間的變化圖象大致可能是
9．已知雙曲線的一條準線與拋物線的準線重合，則該雙曲線
的離心率為
A． B． C． D．
10．已知是正四面體，為之中點，則與所成的角為
A． B． C． D．
11．直線與直線互相垂直，、且，則
的最小值為
A．1 B．2 C．3 D．4
12．正四面體的外接球的體積為，則點到平面的距離為
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（非選擇題，共90分）
二、填空題：本大題共4小題，每小題5分。共20分．把答案填在題中橫線上．
13．若則在上的投影是 ．
14．設，若在處連續(xù)，則 ．
15．、是橢圓的兩個焦點，為橢圓上一動點，若為鈍角，則點
的橫坐標的范圍是 ．
16．設有四個條件：
① 平面與平面，所成的銳二面角相等；
② 直線平面平面；
③ 是異面直線，，且；
④ 平面內距離為的兩條平行直線在平面內的射影仍為兩條距離為的平行直線．
其中能推出的條件有 ．
三、解答題：本大題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
17．（本小題滿分10分）
已知向量，且、、分別為的三邊，，所對的角．
（1）求角的大��；
（2）若，求的面積．
18．（本小題滿分12分）
甲、乙等四名醫(yī)務志愿者被隨機地分到、、三個不同的地震災區(qū)服務，每個災區(qū)至少有一名志愿者．
（1）求甲、乙兩人同時參加災區(qū)服務的概率；
（2）求甲、乙兩人在同一個災區(qū)服務的概率；
（3）設隨機變量為這四名志愿者中參加災區(qū)服務的人數，求的分布列．
19．（本小題滿分12分）
如圖，直二面角中，四邊形是邊長為2的正方形，為CE上的點，且平面．
（1）求證平面；
（2）求二面角的大�。�
20．（本小題滿分12分）
已知數列、滿足，且，
（1）令，求數列的通項公式；
（2）求數列的通項公式及前項和公式．
21．（本小題滿分12分）
已知曲線上任意一點到橢圓（為正常數）右焦點的距離等于到定直線的距離．
（1）求曲線的方程；
（2）若是曲線上過點的直線，且，試證．
22．（本小題滿分12分）
設函數曲線在點處的切線方程為．
（1）求的解析式；
（2）證明：函數的圖象是一個中心對稱圖形，并求其對稱中心；
（3）證明：曲線任一點的切線與直線和直線所圍三角形的面積為定值，并求出此定值．
1．A 2．C 3．B 4．A 5．C 6．C 7．D 8．C 9．D 10．B
1l．B 12．A
1．解析：，故選A．
2．解析：
，∴選C．
3．解析：是增函數
故，即
又
，故選B．
4．解析：如圖作出可行域，作直線，平移直線至位置，使其經過點．此時目標函數取得最大值（注意與反號）
由得
，故選A
5．解析：設有人投中為事件，則，
故選C．
6．解析：展開式中能項；
由，得，故選C．
7．解析：
由得
，故選D．
8．略
9．解析：由得準線方程，雙曲線準線方程為
，解得，
，故選D．
10．解析：設正四面體的棱長為2，取中點為，連接，則為與所成的角，在中
，故選B．
11．解析：由題意，則，故選B．
12．解析：由已知，
為球的直徑
，又，
設，則
，
又由，解得
，故選A．
另法：將四面體置于正方休中．
正方體的對角線長為球的直徑，由此得，然后可得．
二、
13．解析：在上的投影是．
14．解析：，且．
15．解析：，
由余弦定理為鈍角
，即，
解得．
16．
解析：容易知命題①是錯的，命題②、③都是對的，對于命題④我們考查如圖所示的正方體，設棱長為，顯然與為平面內兩條距離為的平行直線，它們在底面內的射影、仍為兩條距離為的平行直線，但兩平面與卻是相交的．
三、
17．解：（1），
，
即，故．
（2）
由得．
設邊上的高為，則
．
18．（1）設甲、乙兩人同時參加災區(qū)服務為事件，則．
（2）記甲、乙兩人同時參加同一災區(qū)服務為事件，那么．
（3）隨機變量可能取得值為1，2，事件“”是指有兩人同時參加災區(qū)服務，則，所以．
分布列是
1
2
19．解：（1）平面
∵二面角為直二面角，且，
平面 平面．
（2）（法一）連接與高交于，連接是邊長為2的正方形， ，
二平面，由三垂線定理逆定理得
是二面角的平面角
由（1）平面，
．
在中，
∴在中，
故二面角等于．
（2）（法二）利用向量法，如圖以之中點為坐標原點建立空間坐標系，則
，
設平面的法向量分別為，則由
得，而平面的一個法向理
故所求二面角等于．
20．解：（1）由題設，即
易知是首項為、公差為2的等差數列，
∴通項公式為，
（2）由題設，，得是以公比為的等比數列．
由得．
21．解：（1）由題意，由拋物線定義可求得曲線的方程為．
（2）證明：設、的坐標分別為
若直線有斜率時，其坐標滿足下列方程組：
，
若沒有斜率時，方程為．
又．
；又，
．
22．（1）解：，于是，
解得或
因，故．
（2）證明：已知函數都是奇函數．
所以函數也是奇函數，其圖象是以原點為中心的中心對稱圖形，而．
可知．函數的圖象按向量平移，即得到函數的圖象，故函數的圖象是以點（1，1）為中心的中心對稱圖形，
（3）證明；在曲線上作取一點，
由知，過此點的切線方程為
．
令，得，切線與直線交點為．
令，得切線與直線交點為，直線與直線與直線的交點為（1，1）．
從而所圍三角形的面積為
所以，圍成三角形的面積為定值2．
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