江蘇省南京市第十三中學2009屆高三第三次模擬試卷    數(shù) 學 試 卷   2009.5

注意事項：

1．本試卷共160分，考試時間120分鐘．

2．答題前，考生務(wù)必將自己的學校、姓名、考試號寫在答題紙上．試題的答案寫在答題紙上對應(yīng)題目的答案空格內(nèi)．考試結(jié)束后，交回答題紙．

參考公式：

一組數(shù)據(jù)的方差，其中為這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)．

一、填空題（本大題共14小題，每小題5分，共70分）

1．已知集合M＝{y|y＝x2，x∈R}，N＝{y|y2≤2，y∈Z}，則M∩N＝   ▲   ．

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2．在復平面內(nèi)，復數(shù) 對應(yīng)的點與原點之間的距離是   ▲   ．

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3．已知命題p：函數(shù)y＝lgx2的定義域是R，命題q：函數(shù)y＝的值域是正實數(shù)集，給出命題：①p或q；②p且q；③非p；④非q．其中真命題有    ▲    個．

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4．已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，a4＝7，S9＝45，則過點P(2，a3)，Q(4，a6)的直線的斜率

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等于    ▲    ．

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5．右邊的流程圖最后輸出的n的值是    ▲    ．

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6．若x，y滿足約束條件


   

    
    

    
N


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7．已知正四棱錐的體積是48cm3，高為4cm，


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則該四棱錐的側(cè)面積是    ▲    cm2．


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8．如圖是2008年元旦晚會舉辦的挑戰(zhàn)主持人大賽上，
七位評委為某選手打出的分數(shù)的莖葉統(tǒng)計圖，去掉一個
最高分和一個最低分后，所剩數(shù)據(jù)的方差為    ▲    ．


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9．當A，B∈{1，2，3}時，在構(gòu)成的不同直線Ax－By＝0中，任取一條，其傾斜角小于45°的概率是    ▲    ．


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10．已知定義域為R的偶函數(shù)f(x)在[0，＋∞)上是增函數(shù)，且f()＝0，則不等式f(log2x)＜0的解集為   ▲    ．


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11．橢圓＋＝1(a＞b＞0)的焦點F1，F2分別在雙曲線－＝1的左、右準線上，
則橢圓的離心率e＝    ▲    ．


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12．函數(shù)y＝tan(x－)的部分圖像如圖所示,則(((OB－((OA)×((OB＝    ▲    ．


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13．在△ABC中，D為BC中點，ÐBAD＝45°，ÐCAD＝30°，AB＝，則AD＝    ▲    ．


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14．已知x，y都在區(qū)間(0，1]內(nèi)，且xy＝，若關(guān)于x，y的方程＋－t＝0有兩組不同的解(x，y)，則實數(shù)t的取值范圍是    ▲    ．


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二、解答題（本大題共6小題，共90分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
15．（本題滿分14分）
已知0＜a＜＜b＜p，tan＝，cos(b－a)＝．（1）求sina的值；（2）求b的值．
 
 
 
 
 


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16．（本題滿分14分）
在三棱柱ABC－A1B1C1中，四邊形AA1C1C為矩形，四邊形BB1C1C為菱形．
AC∶AB∶CC1＝3∶5∶4，D，E分別為A1B1，CC1中點．


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求證：（1）DE∥平面AB1C；
（2）BC1^平面AB1C．
 
 
 
 
 
 
 


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17．（本題滿分14分）
A地產(chǎn)汽油，B地需要汽油．運輸工具沿直線AB從A地到B地運油，往返A，B一趟所需的油耗等于從A地運出總油量的．如果在線段AB之間的某地C（不與A，B重合）建一油庫，則可選擇C作為中轉(zhuǎn)站，即可由這種運輸工具先將油從A地運到C地，然后再由同樣的運輸工具將油從C地運到B地．設(shè)＝x，往返A，C一趟所需的油耗等于從A地運出總油量的．往返C，B一趟所需的油耗等于從C地運出總油量的．不計裝卸中的損耗，定義：運油率P＝，設(shè)從A地直接運油到B地的運油率為P1，從A地經(jīng)過C中轉(zhuǎn)再運油到B地的運油率為P2．
（1）比較P1，P2的大小；
（2）當C地選在何處時，運油率P2最大？
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 


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18．（本題滿分16分）


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已知拋物線頂點在原點，準線方程為x＝－1．點P在拋物線上，以P圓心，P到拋物線焦點的距離為半徑作圓，圓P存在內(nèi)接矩形ABCD，滿足AB＝2CD，直線AB的斜率為2．
（1）求拋物線的標準方程；
（2）求直線AB在y軸上截距的最大值，并求此時圓P的方程．
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 


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19．（本題滿分16分）
已知函數(shù)f(x)＝lnx＋，其中a為大于零的常數(shù)．
  
（1）若函數(shù)f(x)在區(qū)間[1，＋∞)內(nèi)不是單調(diào)函數(shù)，求a的取值范圍；
（2）求函數(shù)f(x)在區(qū)間[e，e2]上的最小值．
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 


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20．（本小題滿分16分）
已知數(shù)列{an}中，a1＝2，a2＝3，an＋2＝an＋1－an，其中n∈N*．設(shè)數(shù)列{bn}滿足bn＝an＋1－an，n∈N*．
（1）證明：數(shù)列{bn}為等比數(shù)列，并求數(shù)列{bn}的通項公式；
（2）求數(shù)列{an}的通項公式；


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（3）令cn＝，n∈N*，求證：c1＋c2＋…＋cn＜2．
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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        數(shù) 學 試 卷 答 卷 紙   2009.5


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一、填空題（本大題共14小題，每小題5分，共70分．把答案填在下列橫線上）
1．                          
　    
2．                            



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3．                          
　    
4．                            



試題詳情


5．                          
　    
6．                             



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7．                          
　    
8．_____________________________


試題詳情


9．____________________________　    10．_____________________________


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11．___________________________      12．_____________________________


試題詳情


13．____________________________     14．_____________________________
 


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二、解答題（本大題共6小題，共90分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
15．（本題滿分14分）
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 


試題詳情


16．（本題滿分14分）
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 


試題詳情


17．(本題滿分14分)
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 


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18．（本題滿分16分）
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 


試題詳情


19．(本題滿分16分)
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 


試題詳情


20．(本題滿分16分)
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
南京市第十三中學2009屆高三年級第三次模擬考試


試題詳情


        數(shù)學附加卷   2009.5
注意事項：


試題詳情


1．附加題供選修物理的考生使用．


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2．本試卷共40分，考試時間30分鐘．


試題詳情


3．答題前，考生務(wù)必將自己的學校、姓名、考試號寫在答題紙的密封線內(nèi)．試題的答案寫在答題紙上對應(yīng)題目的答案空格內(nèi)．考試結(jié)束后，交回答題紙．


試題詳情


21．【選做題】在A、B、C、D四小題中只能選做2題，每小題10分，共計20分．請在答題紙指定區(qū)域內(nèi)作答．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
A．選修4―1：幾何證明選講


試題詳情


圓的兩弦AB、CD交于點F，從F點引BC的平行線和直線AD交于P，再從P引這個圓的切線，切點是Q，求證：PF＝PQ．
 
 
 
B．選修4―2：矩陣與變換
已知矩陣M＝，N＝，求直線y＝2x＋1在矩陣MN的作用下變換所得到的直線方程．
 
 
 
C．選修4―4：坐標系與參數(shù)方程
已知⊙C：r＝cosq＋sinq，直線l：r＝．求⊙C上點到直線l距離的最小值．
 
 
D．選修4―5：不等式選講
已知關(guān)于x的不等式ㄏx＋1ㄏ＋ㄏx－1ㄏ≤＋＋對任意正實數(shù)a，b，c恒成立，求實數(shù)x的取值范圍．
 
 
 
【必做題】第22題、第23題，每題10分，共計20分．請在答題紙指定區(qū)域內(nèi)作答．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．


試題詳情


22．2008年中國北京奧運會吉祥物由5個“中國福娃”組成，分別叫貝貝、晶晶、歡歡、迎迎、妮妮。現(xiàn)有8個相同的盒子，每個盒子中放一只福娃，每種福娃的數(shù)量如下表：
福娃名稱
貝貝
晶晶
歡歡
迎迎
妮妮
數(shù)量
1
2
3
1
1
從中隨機地選取5只．
   （1）求選取的5只恰好組成完整“奧運吉祥物”的概率；


試題詳情


   （2）若完整地選取奧運會吉祥物記100分；若選出的5只中僅差一種記80分；差兩種記60分；以此類推．設(shè)表示所得的分數(shù)，求的分布列和期望值．
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 


試題詳情


23．已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，點(an＋2，Sn＋1)在直線y＝4x－5上，其中n∈N*，令bn＝an＋1－2an，且a1＝1．
（1）求數(shù)列{bn}的通項公式；
（2）若f(x)＝b1x＋b2x2＋b3x3＋…＋bnxn，求f ¢(1)的表達式，并比較f ¢(1)與8n2－4n的大�。�
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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試題詳情


        數(shù) 學 附 加 卷 答 卷 紙   2009.5


試題詳情


A．選修4―1：幾何證明選講
 
 
 
 
 
B．選修4―2：矩陣與變換
 
 
 
 
C．選修4―4：坐標系與參數(shù)方程
 
 
 
 
 
 
D．選修4―5：不等式選講
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
【必做題】第22題、第23題，每題10分，共計20分．請在答題紙指定區(qū)域內(nèi)作答．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．


試題詳情


22．
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 


試題詳情


23．
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
南京市第十三中學2009屆高三年級第三次模擬考試


試題詳情


說明：
1．本解答給出的解法供參考．如果考生的解法與本解答不同，可根據(jù)試題的主要考查內(nèi)容比照評分標準制訂相應(yīng)的評分細則．
2．對計算題，當考生的解答在某一步出現(xiàn)錯誤時，如果后續(xù)部分的解答未改變該題的內(nèi)容和難度，可視影響的程度決定給分，但不得超過該部分正確解答應(yīng)得分數(shù)的一半；如果后續(xù)部分的解答有較嚴重的錯誤，就不再給分．
3．解答右端所注分數(shù)，表示考生正確做到這一步應(yīng)得的累加分數(shù)．
4．只給整數(shù)分數(shù)，填空題不給中間分數(shù)．
一、填空題（本大題共14小題，每小題5分，共70分）
1．{0，1}       2．1       3．2      4．－3       5．5      6．[2，5]     
7．60         
  8．4      9．  
10．（，）     11．     12．4  
13．        14．(，]
二、解答題（本大題共6小題，共90分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
15．（本題滿分14分）
解：（1）tana＝＝，…………………………………………3分
所以＝，又因為sin2a＋cos2a＝1，
解得sina＝．………………………………………………………7分
（2）因為0＜a＜＜b＜p，所以0＜b－a＜p．
因為cos(b－a)＝，所以sin(b－a)＝．……………………9分
所以sinb＝sin[(b－a)＋a]
＝sin(b－a)cosa＋cos(b－a)sina＝×＋×＝，……12分
因為b∈(，p)，
所以b＝．………………………………………………………14分
 
16．（本題滿分14分）
證明：（1）取AB1中點F，連結(jié)DF，CF．因為D為A1B1中點，
所以DF∥=AA1． 
因為E為CC1中點，AA1∥=CC1，
所以CE∥=DF．
所以四邊形CFDE為平行四邊形．
所以DE∥CF．…………………………………………………4分
因為CFÌ平面ABC，DE(/平面ABC，
所以DE∥平面ABC．…………………………………………7分
（2） 因為AA1C1C為矩形，所以AC^CC1．
因為BB1C1C為菱形，所以CC1＝CB．B1C^BC1．…………8分
因為AC∶AB∶CC1＝3∶5∶4，
所以AC∶AB∶BC＝3∶5∶4，
所以AC2＋BC2＝AB2．……………………………………10分
所以AC^BC．
所以AC^平面BB1C1C．…………………………………12分
所以AC^BC1．
所以BC1^平面AB1C．……………………………………14分




 

  
 

 

  
  
 




 
 
 
 
 
 
 
 
 
17．（本題滿分14分）
解：（1）設(shè)從A地運出的油量為a，根據(jù)題設(shè)，直接運油到B地，往返油耗等于a，
所以B地收到的油量為(1－)a．
所以運油率P1＝＝．……………………………………3分
而從A地運出的油量為a時，C地收到的油量為(1－)a，
B地收到的油量(1－)(1－)a，
所以運油率P2＝
＝(1－)(1－)＝(＋)(1－)．…………………………7分
所以P2－P1＝x(1－x)，因為0＜x＜1，
所以P2－P1＞0，即P2＞P1．…………………………………………9分
（2）因為P2＝(＋)(1－)≤＝．
當且僅當＋＝1－，即x＝時，取“＝”．
所以當C地為AB中點時，運油率P2有最大值．……………………………………14分
18．（本題滿分16分）
解：（1）因為拋物線頂點在原點，準線方程為x＝－1，
所以拋物線開口向右，且－＝－1，所以p＝2．
所以所求的拋物線方程為y2＝4x．…………………………………………4分
（2）設(shè)P(x0，y0)，則y02＝4x0，半徑r＝PF＝x0＋1，
圓P的方程為(x－x0)2＋(y－y0)2＝(x0＋1)2，……………………………6分
設(shè)AB的方程為y＝2x＋b，由AB＝2CD得，
圓心P到直線AB的距離2d＝，……………………………6分
所以5d2＝r2，即d＝r．
因為r＝|x0＋1|，d＝，
代入得ㄏ2x0－y0＋bㄏ＝ㄏx0＋1ㄏ．…………………………………8分
即2x0－y0＋b＝x0＋1或2x0－y0＋b＝－x0－1．
所以x0－y0＋b－1＝0或3x0－y0＋b＋1＝0．
因為y02＝4x0，所以x0＝y02，
代入得y02－y0＋(b－1)＝0或y02－y0＋(b＋1)＝0．……………………10分
方程y02－y0＋(b－1)＝0關(guān)于y0有解Û1－(b－1)≥0，b≤2．
方程y02－y0＋(b＋1)＝0．關(guān)于y0有解Û1－3(b＋1)≥0，b≤－．…12分
綜上所述，b的最大值為2．……………………………………………14分
此時，y0＝2，x0＝1，r＝x0＋1＝2，
所以圓P的方程為(x－1)2＋(y－2)2＝4．……………………………16分
19．（本題滿分16分）
解： f ¢(x)＝(x＞0)  2分
  
（1）由已知，得f
¢(x)在[1，＋∞)上有解，即a＝在(1，＋∞)上有解，
       又當x∈(1，＋∞)時，＜1，
所以a＜1．又a＞0，所以a的取值范圍是(0，1)．………………………………6分
  
（2）①當a≥時，
       因為f ¢(x)＞0在(e，e2)上恒成立，這時f(x)在[e，e2]上為增函數(shù)，
所以當x＝e時，f(x)min＝f(e)＝1＋  ……………………………………………… 8分
       ②當0＜a≤時，
因為f ¢(x)＜0在(e，e2)上恒成立，
這時f(x)在[e，e2]上為減函數(shù)，
所以，當x＝e2時，f(x)min＝f(e2)＝2－，…………………………………………10分
       ③當＜a＜時，令f¢(x)＝0得，x＝∈(e，e2)，
又因為對于x∈(e，)有f
¢(x)＜0，
對于x∈(，e2)有f ¢(x)＞0，
所以當x＝時，f(x)min＝f()＝ln＋1－．………………………………………14分
       綜上，f(x)在[e，e2]上的最小值為
       f(x)min＝………………………………………16分
20．（本題滿分16分）
解：（1）由條件得an＋2＝(2＋)an＋1－an，
所以an＋2－an＋1＝2(an＋1－an)，
即bn＋1＝2bn，又b1＝a2－a1＝2，所以bn≠0，
從而＝2對n∈N*成立，
所以數(shù)列{bn}是首項為b1＝2，公比q＝2的等比數(shù)列，
所以bn＝2n．…………………………………………………6分
（2）由（1）得an＋1―an＝2n．所以(n＋1)an＋1－nan＝(n＋1)×2n，………………8分
所以2a2－a1＝2×21，
3a3－2a2＝3×22，
4a4－3a3＝4×23，
…………，
nan－(n－1)an－1＝n×2n－1，
相加得nan－a1＝2×21＋3×22＋4×23＋…＋n×2n－1，
所以2(nan－a1)＝     2×22＋3×23＋…＋(n－1)×2n－1＋n×2n．
兩式相減得：－（nan－a1)＝2(21＋22＋…＋2n－1)－n×2n＝2n＋1－4－n×2n，所以
an＝2n－＝．…………………………………………………………11分
（3）因為cn＝＝＝4[－]，…………13分
所以Sn＝c1＋c2＋…＋cn
＝4[－＋－＋－＋…＋－]
＝4[－]＝2－＜2．…………………………………………………16分
 
南京市第十三中學2009屆高三年級第三次模擬考試
        數(shù)學附加卷答案   2009.5
1．（幾何證明選講）（本題滿分10分）
證明：證明：因為A，B，C，D四點共圓，所以ÐADF＝ÐABC．
因為PF∥BC，所以ÐAFP＝ÐABC．所以ÐAFP＝ÐFQP．
因為ÐAPF＝ÐFPA，所以△APF∽△FPQ．所以＝．………………5分
所以PF2＝PA×PD．因為PQ與圓相切，所以PQ2＝PA×PD．
所以PF2＝PQ2．所以PF＝PQ．……………………………………………10分
 
2．（矩陣與變換）（本題滿分10分）
解：∵MN＝ ＝，
設(shè)直線y＝2x＋1上一點(x0，y0)在MN作用下變?yōu)?x¢，y¢)，則
 ＝， 即＝，即
從而可得……………………………………5分
∵y0＝2x0＋1，代入得y¢＝2(x¢－y¢)＋1，
化簡得2x¢－y¢＋1＝0，即6x¢－5y¢＋3＝0．
即變換后的直線方程是6x－5y＋3＝0．…………………………10分
 
3．（坐標系與參數(shù)方程）（本題滿分10分）
解：⊙O的直角坐標方程是x2＋y2－x－y＝0，
即(x－)2＋(y－)2＝．………………………………………………3分
直線l的極坐標方程為r(cosq－sinq)＝4，
直線l的直角坐標方程為x－y－4＝0．………………………………6分
設(shè)M(＋cosq，＋sinq)為⊙C上任意一點，M點到直線l的距離
d＝＝，
當q＝時，dmin＝．…………………………………………………10分
 
4．（不等式選講）（本題滿分10分）
解：因為＋＋≥3＝3，………………………………………4分
所以ㄏx＋1ㄏ＋ㄏx－1ㄏ≤3，
x∈[－，]．…………………………………………………………10分
 
5．（本題滿分10分）
解：解：（1）選取的5只恰好組成完整“奧運會吉祥物”的概率
       ………………………………………………3分
   （2）ξ的取值為100，80，60，40.…………………………………4分
       
       ……………………………………………………8分
ξ的分布列為
ξ
100
80
60
40
       ……………………………………………………………………………………9分
Eξ=…………………………………………10分
 
6．（本題滿分10分）
解：（1）∵，∴.
∴（）.
∴（）.
∴（）.
∴（）.
∴數(shù)列為等比數(shù)列，其公比為，首項，
而，且，∴.
∴.   
∴.…………………………………………………………4分．
   （2）∵，
     ∴  .
∴.
∴，        ①
∴2.       ②
①-②得 -，
             

         
    ，
∴.…………………………………………………6分．
∴（）==.
當時，=；
當時，-（）=4（4-5）=-4，；
當時，，
且，
∴時，總有.…………………………………………………10分．
∴時，總有．
 
 
 

				
	

		



同步練習冊答案





























	





	







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