如圖（20）圖， 為平面，AB=5,A,B在棱l上的射影分別為A′，B′，AA′＝3，BB′＝2.若二面角的大小為，求：

     （Ⅰ）點(diǎn)B到平面的距離;

（Ⅱ）異面直線l與AB所成的角（用反三角函數(shù)表示）.

（21）（本小題滿分12分，（Ⅰ）小問(wèn)5分，（Ⅱ）小問(wèn)7分.）

      如題（21）圖，M（-2，0）和N（2，0）是平面上的兩點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足：

（Ⅰ）求點(diǎn)P的軌跡方程;

（Ⅱ）設(shè)d為點(diǎn)P到直線l： 的距離，若,求的值.

（22）（本小題滿分12分，（Ⅰ）小問(wèn)6分.（Ⅱ）小問(wèn)6分）

      設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{a_n}滿足.

     （Ⅰ）若求a₃,a₄,并猜想a₂₀₀₈的值（不需證明）;

（Ⅱ）若對(duì)n≥2恒成立，求a₂的值.

絕密★啟用前

2008年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（重慶卷）

數(shù)學(xué)試題（文史類）答案

(1)C        (2)A        (3)C       (4)A          (5)D         (6)D

(7)B        (8)C        (9)B       (10)B         (11)A        (12)C

(13) |2 , 3|             (14) -23           (15) -2           (16) 12

(1)已知｛a_n｝為等差數(shù)列，a₂+a₈=12,則a₅等于

(A)4             (B)5                      (C)6                      (D)7

【答案】C

【解析】本小題主要考查等差數(shù)列的性質(zhì)。由得：，故選C。

(2)設(shè)x是實(shí)數(shù)，則“x＞0”是“|x|＞0”的

(A)充分而不必要條件                       (B)必要而不充分條件        

(C)充要條件                                    (D)既不充分也不必要條件

【答案】A

【解析】本小題主要考查充要條件的判定。由充分 而或，不必要，故選A。

(3)曲線C:(為參數(shù))的普通方程為

(A)(x-1)²+(y+1)²=1                                          (B) (x+1)²+(y+1)²=1

(C) (x-1)²+(y-1)²=1                                          (D) (x-1)²+(y-1)²=1

【答案】C

【解析】本小題主要考查圓的參數(shù)方程。移項(xiàng)，平方相加，

，故選C。

(4)若點(diǎn)P分有向線段所成的比為-，則點(diǎn)B分有向線段所成的比是

(A)-                         (B)-                         (C)                          (D)3

【答案】A

【解析】本小題主要考查線段定比分點(diǎn)的有關(guān)計(jì)算。如下圖可知，B點(diǎn)是有向線段PA的外分點(diǎn)，，故選A。

(5)某交高三年級(jí)有男生500人，女生400人，為了解該年級(jí)學(xué)生的健康情況，從男生中任意抽取25人，從女生中任意抽取20人進(jìn)行調(diào)查.這種抽樣方法是

(A)簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣法                                         (B)抽簽法

(C)隨機(jī)數(shù)表法                                             (D)分層抽樣法

【答案】D

【解析】本小題主要考查抽樣方法。若總體由差異明顯的幾部分組成時(shí)，經(jīng)常采用分層抽樣的方法進(jìn)行抽樣。故選D。

(6)函數(shù)y=10^x2-1 (0＜x≤1＝的反函數(shù)是

(A)                          (B)(x＞)

(C) (＜x≤            (D) (＜x≤

【答案】D

【解析】本小題主要考查反函數(shù)的求法。由得：，即。又因?yàn)闀r(shí)，，從而有，即原函數(shù)值域?yàn)椤Ｋ�以原函�?shù)的反函數(shù)為，故選D。

(7)函數(shù)f(x)=的最大值為

(A)                          (B)                          (C)                (D)1

【答案】B

【解析】本小題主要考查均值定理。（當(dāng)且僅，即時(shí)取等號(hào)。故選B。

(8)若雙曲線的左焦點(diǎn)在拋物線y²=2px的準(zhǔn)線上，則p的值為

(A)2                                   (B)3                             (C)4                 (D)4 

【答案】C

【解析】本小題主要考查雙曲線和拋物線的幾何性質(zhì)。雙曲線的左焦點(diǎn)坐標(biāo)為：，拋物線的準(zhǔn)線方程為，所以，解得：，故選C。

(9)從編號(hào)為1,2,…,10的10個(gè)大小相同的球中任取4個(gè)，則所取4個(gè)球的最大號(hào)碼是6的概率為

(A)                        (B)                         (C)                   (D)

【答案】B

【解析】本小題主要考查組合的基本知識(shí)及等可能事件的概率。，故選B。

(10)若(x+)ⁿ的展開(kāi)式中前三項(xiàng)的系數(shù)成等差數(shù)，則展開(kāi)式中x⁴項(xiàng)的系數(shù)為

(A)6                                   (B)7                             (C)8                    (D)9

【答案】B

【解析】本小題主要考查二項(xiàng)式定理的基礎(chǔ)知識(shí)。因?yàn)榈恼归_(kāi)式中前三項(xiàng)的系數(shù)、、成等差數(shù)列，所以，即，解得：或（舍）。。令可得，，所以的系數(shù)為，故選B。

(11)如題（11）圖，模塊①－⑤均由4個(gè)棱長(zhǎng)為1的小正方體構(gòu)成，模塊⑥由15個(gè)棱長(zhǎng)為1的小正方體構(gòu)成.現(xiàn)從模塊①－⑤中選出三個(gè)放到模塊⑥上，使得模塊⑥成為一個(gè)棱長(zhǎng)為3的大正方體.則下列選擇方案中，能夠完成任務(wù)的為

(A)模塊①，②，⑤                                         (B)模塊①，③，⑤

(C)模塊②，④，⑥                                      (D)模塊③，④，⑤

【答案】A

【解析】本小題主要考查空間想象能力。先補(bǔ)齊中間一層，只能用模塊⑤或①，且如果補(bǔ)①則后續(xù)兩塊無(wú)法補(bǔ)齊，所以只能先用⑤補(bǔ)中間一層，然后再補(bǔ)齊其它兩塊。

（12）函數(shù)f(x)=(0≤x≤2)的值域是

(A)[-]                                                     (B)[-]

(C)[-]                                                     (D)[-]

【答案】C

【解析】本小題主要考查函數(shù)值域的求法。令，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)。同理可得當(dāng)時(shí)，，綜上可知的值域?yàn)�，故選C。

（13）已知集合，則

                 .

【答案】

【解析】本小題主要考查集合的簡(jiǎn)單運(yùn)算。，

（14）若則＝           .

【答案】-23

【解析】本小題主要考查指數(shù)的運(yùn)算。

（15）已知圓C： （a為實(shí)數(shù)）上任意一點(diǎn)關(guān)于直線l：x-y+2=0

      的對(duì)稱點(diǎn)都在圓C上，則a=          .

【答案】-2

【解析】本小題主要考查圓的一般方程及幾何性質(zhì)，由已知，直線經(jīng)過(guò)了圓心，所以，從而有。

（16）某人有3種顏色的燈泡（每種顏色的燈泡足夠多），要在如題（16）圖所示的6個(gè)點(diǎn)A、B、C、A₁、B₁、C₁上各安裝一個(gè)燈泡，要求同一條線段兩端的燈泡不同色，則不同的安裝方法共有        種（用數(shù)字作答）.

【答案】12

【解析】本小題主要考查排列組合的基本知識(shí)。先安排底面三個(gè)頂點(diǎn)，共有種不同的安排方法，再安排上底面的三個(gè)頂點(diǎn)，共有種不同的安排方法。由分步記數(shù)原理可知，共有種不同的安排方法。

(17)（本小題13分）

     解：(Ⅰ)由余弦定理，

         (Ⅱ)

(18)（本小題13分）

     解：視“選擇每道題的答案”為一次試驗(yàn)，則這是4次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，且每次試驗(yàn)中“選擇正確”這一事件發(fā)生的概率為.

     由獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率計(jì)算公式得：

     (Ⅰ)恰有兩道題答對(duì)的概率為

     (Ⅱ)解法一：至少有一道題答對(duì)的概率為

         解法二：至少有一道題答對(duì)的概率為

(19)(本小題12分)

     解：(Ⅰ)因

             所以

             即當(dāng)

             因斜率最小的切線與平行，即該切線的斜率為-12，

             所以

             解得

         (Ⅱ)由(Ⅰ)知

（20）（本小題12分）

解：（1）如答（20）圖，過(guò)點(diǎn)B′C∥A′A且使B′C=A′A.過(guò)點(diǎn)B作BD⊥CB′，交CB′的延長(zhǎng)線于D.

由已知AA′⊥l，可得DB′⊥l，又已知BB′⊥l，故l⊥平面BB′D，得BD⊥l又因BD⊥CB′，從而BD⊥平面α,BD之長(zhǎng)即為點(diǎn)B到平面α的距離.

因B′C⊥l且BB′⊥l，故∠BB′C為二面角α-l-β的平面角.由題意，∠BB′C=

.因此在Rt△BB′D中，BB′=2,∠BB′D=π-∠BB′C=,BD=BB′?sinBB′D

=.

（Ⅱ）連接AC、BC.因B′C∥A′A，B′C=A′A,AA′⊥l,知A′ACB′為矩形，故AC∥l.所以∠BAC或其補(bǔ)角為異面直線l與AB所成的角.

在△BB′C中，B′B=2，B′C=3，∠BB′C=，則由余弦定理，

BC=.

因BD平面，且DCCA，由三策劃線定理知ACBC.

故在△ABC中，∠BCA=，sinBAC=.

因此，異面直線l與AB所成的角為arcsin

（21）（本小題12分）

解：（I）由雙曲線的定義，點(diǎn)P的軌跡是以M、N為焦點(diǎn)，實(shí)軸長(zhǎng)2a=2的雙曲線.

因此半焦距c=2，實(shí)半軸a=1，從而虛半軸b=,

所以雙曲線的方程為x^2-=1.

(II)解法一：

由（I）由雙曲線的定義，點(diǎn)P的軌跡是以M、N為焦點(diǎn)，實(shí)軸長(zhǎng)2a=2的雙曲線.

因此半焦距e=2，實(shí)半軸a=1，從而虛半軸b=.

R所以雙曲線的方程為x²-=1.

(II)解法一：

由（I）及答（21）圖，易知|PN|1,因|PM|=2|PN|²,       ①

知|PM|>|PN|,故P為雙曲線右支上的點(diǎn)，所以|PM|=|PN|+2.     ②

將②代入①，得2||PN|²-|PN|-2=0，解得|PN|=,所以

|PN|=.

因?yàn)殡p曲線的離心率e==2,直線l:x=是雙曲線的右準(zhǔn)線，故=e=2,

所以d=|PN|,因此

解法：

設(shè)P（x,y），因|PN|1知

|PM|=2|PN|²2|PN|>|PN|,

故P在雙曲線右支上，所以x1.

由雙曲線方程有y²=3x²-3.

因此

從而由|PM|=2|PN|²得

2x+1=2(4x²-4x+1)，即8x²-10x+1=0.

所以x=(舍去x=).

有|PM|=2x+1=

d=x-=.

故

（22）（本小題12分）

解：（I）因a₁=2,a₂=2^-2,故

由此有a₁=2^(-2)0, a₂=2^(-2)4, a₃=2^(-2)2, a₄=2^(-2)3,

從而猜想a_n的通項(xiàng)為

,

所以a_2xn=.

(Ⅱ)令x_n=log₂a_n.則a₂=2^x2,故只需求x₂的值。

   設(shè)S_n表示x₂的前n項(xiàng)和，則a₁a₂…a_n=,由2≤a₁a₂…a_n＜4得

   ≤S_n＝x₁+x₂+…+x_n＜2(n≥2).

因上式對(duì)n=2成立，可得≤x₁+x₂，又由a₁=2,得x₁＝1,故x₂≥.

由于a₁=2，(n∈N*),得(n∈N*),即

，

因此數(shù)列｛x_n+1+2x_n｝是首項(xiàng)為x₂+2,公比為的等比數(shù)列，故

x_n+1+2x_n=(x₂+2) (n∈N*).

將上式對(duì)n求和得

S_n+1－x₁+2S_n=(x₂+2)(1++…+)=(x₂+2)(2－)（n≥2）.

因S_n＜2，S_n+1＜2（n≥2）且x₁=1,故

(x₂+2)(2－)＜5（n≥2）.

因此2x_2－1＜（n≥2）.

下證x₂≤，若淆，假設(shè)x₂＞，則由上式知，不等式

2^n－1＜

對(duì)n≥2恒成立，但這是不可能的，因此x₂≤.

又x₂≥，故z₂=，所以a₂=2=.