湖南省長沙市一中2009年高三第二次模擬試卷

理科數(shù)學(xué)

命題：長沙市一中高三理科備課組

時量：120分鐘 滿分：150分

一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）

1．設(shè)a + bi=(a，b∈R)，則P(a，b)在（    ）

A．第一象限               B．第二象限                C．第三象限               D．第四象限

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2．在某項測量中，測量結(jié)果～N(2，)(＞0)，若在(0，2)內(nèi)取值的概率為0.4，則 在(0，4)內(nèi)的概率為（   ）

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A．0.8                        B．0.4                         C．0.3                        D．0.2

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3．已知函數(shù)在R上可導(dǎo)，且=           （    ）

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    A．                       B．                          C．－3                       D．3

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4．等差數(shù)列{an}中，Sn是其前n項和，，則的值為（    ）

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A．2                           B．1                            C．                          D．3

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5．能夠使圓恰有兩個點到直線距離等于1的c的

一個值為                                                        （    ）

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A．                            B．               　　C．2                    　　　D．3

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6．函數(shù)y = f (x)是圓心在原點的單位圓的兩段圓�。ㄈ鐖D），則不等式f(x)＞f (?x) + x的解集為（    ）

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A．{x|或}                

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B．{x|或}

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C．{x|或}                    

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D．{x|且x≠0}

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7．在直角坐標(biāo)平面上，=（1，4），=（?3，1）且與在直線l上的射影長度相等，直線l的傾斜角為銳角，則l的斜率為（    ）

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A．                          B．                          C．                          D．

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8．f(x)是偶函數(shù)，且f(x)在[0，+∞)上是增函數(shù)；不等式f (ax + 1)≤f (x ?2)對x∈[，1]恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是（    ）

A．[?2，0]                 B．[?5，0]                  C．[?5，1]               D．[?2，1]

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二、填空題（本大題共7小題，每小題5分，共35分.把答案填寫在答題卷中對應(yīng)題號的橫線上）

9．展開式中x3的系數(shù)為            ．

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10．為配制某種染色劑，需要加入三種有機染料，兩種無機染料和兩種添加劑，其中有機染料的添加順序不能相鄰，現(xiàn)要研究所有不同添加順序?qū)θ旧Ч挠绊�，總共要進(jìn)行的試驗次數(shù)為           （用數(shù)字作答）

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11．當(dāng)x、y滿足約束條件（k為常數(shù)）時，能使z = x + 3y的最大值為12的k值為         ．

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12．已知拋物線y2 = 16x，橢圓，則兩曲線有公共點時a的最小值為         ．

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13．如圖，正△ABC的中線AF與中位線DE相交于點G，已知△A′ED是△AED繞邊DE旋轉(zhuǎn)過程中的一個圖形，現(xiàn)給出下列四個命題：

①動點A′在平面ABC上的射影在線段AF上；

②恒有平面A′GF⊥平面BCED；

③三棱錐A′―FED的體積有最大值；

④異面直線A′E與BD不可能垂直．

其中正確命題的序號是               ．

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14．對于實數(shù)x，符號[x]表示不超過x的最大整數(shù)，例如[]= 3，[?1.08] = ?2，定義函數(shù)f(x) = x ?[x]．

（i）f(x) 的值域是  　　　 ；

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（ii）的最小正周期為　　　　　　．

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15．如圖所示，一個粒子在第一象限及坐標(biāo)軸上運動，在第一秒內(nèi)它從原點運動到點(0，1)，然后它接著按圖所示在x軸、y軸的平行方向來回運動（即（0，0）→（0，1）→（1，1）→（1，0）→（2，0）→…）且每秒移動一個單位長度．（i）粒子運動到（4，4）點時經(jīng)過了      秒；（ii）第2009秒時，粒子所處的位置為             ．

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三、解答題（本大題共6小題，共75分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）

16．某人隨機地將編號為1，2，3，4的四個大小相同的小球放入編號為1，2，3，4的四個型號相同的盒子中，每個盒子放一個球，當(dāng)球的編號與盒子的編號相同時叫做“放法恰當(dāng)”，否則叫做“放法不恰當(dāng)”．設(shè)放法恰當(dāng)?shù)那闆r數(shù)為隨即變量．

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（Ⅰ）求的分布列；

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（Ⅱ）求的期望與方差．

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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17．已知向量，向量，

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(Ⅰ)若，且，求實數(shù)的最小值及相應(yīng)的值；

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(Ⅱ)若，且, 求  的值.

 

 

 

 

 

 

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18．如圖，在邊長為12的正方形A1 AA′A1′中，點B、C在線段AA′上，且AB = 3，BC = 4，作BB1∥AA1，分別交A1A1′、AA1′于點B1、P；作CC1∥AA1，分別交A1A1′、AA1′于點C1、Q；將該正方形沿BB1、CC1折疊，使得A′A1′ 與AA1重合，構(gòu)成如圖所示的三棱柱ABC―A1B1C1，在三棱柱ABC―A1B1C1中，

（Ⅰ）求證：AB⊥平面BCC1B1；

（Ⅱ）求面PQA與面ABC所成的銳二面角的大�。�

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（Ⅲ）求面APQ將三棱柱ABC―A1B1C1分成上、下兩部分幾何體的體積之比．

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19．據(jù)中新網(wǎng)2009年4月9日電，日本鹿兒島縣櫻島昭和火山口當(dāng)?shù)貢r間9日下午3點31分發(fā)生中等規(guī)模爆發(fā)性噴火，鹿兒島市及周邊飛揚了大量火山灰．火山噴發(fā)停止后，為測量的需要距離噴口中心50米內(nèi)的圓環(huán)面為第1區(qū)、50米至100米的圓環(huán)面為第2區(qū)、100米至150米的圓環(huán)面為第3區(qū)、……、第50（n－1）米至50n米的圓環(huán)面為第n區(qū)，……，現(xiàn)測得第1區(qū)火山灰平均每平方米為1噸、第2區(qū)每平方米的平均重量較第1區(qū)減少2%、第3區(qū)較第2區(qū)又減少2%，……，以此類推．

（Ⅰ）若第n區(qū)每平方米的重量為an千克，請寫出an的表達(dá)式；

（Ⅱ）第幾區(qū)內(nèi)的火山灰總重量最大？

（Ⅲ）該火山這次噴發(fā)出的火山灰的總重量為多少萬噸（p 取3，結(jié)果精確到萬噸）？

 

 

 

 

 

 

 

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20．如圖所示，F(xiàn)1、F2是雙曲線x2 ? y2 = 1的兩個焦點，O為坐標(biāo)原點，圓O是以F­1F2為直徑的圓，直線l：y = kx + b與圓O相切，并與雙曲線交于A、B兩點．

（Ⅰ）根據(jù)條件求出b和k的關(guān)系式；

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（Ⅱ）當(dāng)，且滿足2≤m≤4時，求△AOB面積的取值范圍．

 

 

 

 

 

 

 

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21．設(shè)函數(shù)f (x) =(b，c∈N*)，若方程f(x) = x的解為0，2，且f (?2)＜?．

（Ⅰ）試求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；

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（Ⅱ）已知各項不為零的數(shù)列{an}滿足4Sn?f () = 1，其中Sn為{an}的前n項和．

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求證：．

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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一、選擇題

題號

1

2

3

4

5

6

7

8

答案

D

A

C

B

D

C

C

A

4．【解析】{an}為等差數(shù)列，則{}也為等差數(shù)列且其公差d = 1,

∴，∴=．

5．【解析】圓方程可化為，則圓心到直線的距離，當(dāng)1＜d＜3時，則圓上恰有兩個點到直線的距離等于1，＜|c|＜，故選D.

6．【解析】y = f(x)是奇函數(shù)，由f(x)＞f (?x) + x得f(x)＞，數(shù)形結(jié)合．

7．【解析】設(shè)l過原點，取線段AB的中點M(?1，)，則OM⊥l，∴kl =．

8．【解析】∵f(x)是偶函數(shù)且f(x)在[0，+∞)是增函數(shù)

∴|ax + 1|≤|x ?2|恒成立，x∈[，1]．

∴x ? 2≤ax + 1≤2 ? x

即．

 

二、填空題

9．【解析】，令有r = 2，∴．

10．【解析】= 1440．

11．       【解析】求出交點代入求出k并驗證得k = ?9．

12．【解析】易求：拋物線焦點F(4，0)，準(zhǔn)線L：x = ? 4．橢圓焦點F(4，0)、 F′(4，4)，如圖所示．

所以F為兩曲線之公共焦點．

設(shè)兩曲線交于點A，則

所以當(dāng)H、A、F′共線時，2a有最小值，從而a也達(dá)到最小，此時，yA = yF = 4，代入y2 = 16x 得xA = 1，再以A(1，4)代入橢圓得：a2 = 16，從而a = 4．

13．【解析】①在平面A′FA內(nèi)過點A′作A′H⊥AF，垂足為H，由DE⊥AF，DE⊥A′G知DE⊥平面A′GA．故DE⊥A′H，∴A′H⊥平面ABC，即A′在平面ABC上的射影在線段AF上．

②由①得；

③由①知：當(dāng)A′H與A′G重合時，三棱錐A′―FED的體積有最大值；

④用反證法：假設(shè)A′E與BD垂直，由①知A′H⊥BD，∴BD⊥面A′HE，EH⊥BD．

∴當(dāng)EH⊥BD時，可證A′E⊥BD．

故①②③正確．

14．【解析】當(dāng)n≤x＜n + 1(n∈Z)時，y = f(x) = x ? n，

顯然有0≤x ? n＜1，即0≤y＜1，

也有f(x+ 1) }= x + 1 ? [x + 1] = x + 1? ([x] + 1) = x ? [x] = f(x)．如圖．

    答案為：［0，1）；1

15．【解析】（i）20；

（ii）將粒子的運動軌跡定義為數(shù)對（i，j）

則它的運動整點可排成數(shù)表

（0，0）

（0，1） （1，1） （1，0）

（0，0） （2，1） （2，2） （1，2） （0，2）

（0，3） （1，3） （2，3） （3，3） （3，2） （3，1） （3，0）

（4，0） （4，1） （4，2） （4，3） （4，4） （3，4） （2，4） （1，4）（0，4）

通過推并可知：經(jīng)過2 = 1×2s，運動到（1，1）

經(jīng)過6 =2×3s，運動到（2，2）

經(jīng)過12 =3×4s，運動到（3，3）

∴經(jīng)過44×45 = 1980s，運動到（44，44）

       再繼續(xù)運動29s，到達(dá)點（15，44）．

三、解答題

16．【解析】（1）= 0，1，2，4．                                            （1分）

P(= 4) =

P(= 2) =

P(= 1) =

P(= 0) = 1?P(= 1) ?P(= 2) ?P(= 4) =                              （7分）

∴的分布列為

0

1

2

4

P

                                                                    （9分）

∴E=，

D= (0 ? 1)2×+ (1 ? 1)2×+(2 ? 1)2×+(4 ? 1)2×= 1               （12分）

17．【解析】（Ⅰ）∵，∴= 0，               （2分）

∴，                                    （4分）

又∵∈R，∴時，mmin = ?2.

又，所以                                             （6分）

（Ⅱ）∵，且,∴                           （8分）

∴

∴                          （10分）

                                              （12分）

18．【解析】（Ⅰ）∵AB = 3，BC = 4，∴AC = 5

∵AC2 = AB2 + BC2

∴AB⊥BC

又AB⊥BB1

且BC∩BB1 = B

∴AB⊥面BCC1B1                                                     （4分）

（Ⅱ）如圖，建立空間直角坐標(biāo)系

則A(3，0，0)，P(0，0，3)，Q(0，4，4)

設(shè)面APQ的法向量為= (x，y，z)

= (1，?1，1)

而面ABC的法向量可以取= (0，0，1)

∴

∴面PQA與面ABC所成的銳二面角為arccos．                        （8分）

（Ⅲ）∵BP = AB = 3，CQ = AC = 7．

∴S四邊形BCQP =

∴VA―BCQP =×20×3 = 20

又∵V=．

∴．                                             （12分）

19．【解析】（Ⅰ）（）．　　　　（2分）

（Ⅱ）設(shè)第n區(qū)內(nèi)的面積為bn平方米，

則 ．　　　　　　　　　　　　　�。�4分）

則第n區(qū)內(nèi)火山灰的總重量為

（噸）（萬噸）　　�。�6分）

設(shè)第n區(qū)火山灰總重量最大，則

解得   ∴n =50.

即得第50區(qū)火山灰的總重量最大.                                           （9分）

（Ⅲ）設(shè)火山噴發(fā)的火山區(qū)灰總重量為S萬噸，

則

設(shè)

則   ①

∴ ②

①－②得

∴                               （12分）

∵0＜q＜1，∴（萬噸）

因此該火山這次噴發(fā)出的火山灰的總重量約為3712萬噸．                     （13分）

20．【解析】（Ⅰ）因為圓O的方程為x2 + y2 = 2，所以d =，

可得b2 = 2(k2 + 1)(k≠±1)．                                           （4分）

（Ⅱ）設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，

由，

所以，                                                 （7分）

所以=

=，

因為|AB| =×=，

O到AB的距離，                                         （11分）

  所以

=∈．                                    （13分）

21．（Ⅰ）【解析】

．               　　　　　（2分）

由f (?2) =

又∵b，c∈N*    ∴c = 2，b = 2

∴f (x) =．                                                （4分）

令f′(x)＞0得：x＜0或x＞2

令f′(x)＜0得：0＜x＜2

∴f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為（?∞，0），（2，+∞）

f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為（0，1），（1，2）．                                 （6分）

（Ⅱ）證明：由已知可得：2Sn = an ? ，

兩式相減得：(an + an ? 1) (an ? an ? 1+1) = 0 （n≥2）

∴an = ?an ?1或an ?an?1 = ?1                                             （7分）

當(dāng)n =1 時，2a1 = a1 ?

若an = ?an?1，則a2 = ?a1 = 1與an≠1矛盾．

（定義域要求an≠1）

∴an ? an?1 = 1，∴an = ?n．                                             （8分）

要證的不等式轉(zhuǎn)化為

先證不等式

令g (x) = x ?ln(1 + x)，h(x) = ln(x +1) ?                                （10分）

則g′(x) =，h′(x) =

∵x＞0   ∴g′(x)＞0，h′(x)＞0

∴g (x)， h(x)在（0，+∞）上

∴g (x)＞g (0) = 0，h(x)＞h(0) = 0                                        （12分）

∴

故，即．                         （13分）

 

 


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