海 淀 區(qū) 高 三 年 級 第 二 學 期 期 中 練 習

數(shù)   學（文科）            

一、              選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分）

題號

（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

（6）

（7）

（8）

答案

C

D

B

C

B

A

C

D

二、填空題（本大題共6小題，每小題5分，有兩空的小題，第一空3分，第二空2分，共30分）

(9)2   (10)3   (11) 12π   (12)7   (13)5,(-1, )  (14)s2,a_n=sin() +

三、解答題（本大題共6小題，共80分）

（15）（共12分）

解：（Ⅰ）由所給條件,方程x²-5x+6=0的兩根tanA=3,tanB=2.……………………2分

∴tan(A+B)＝………………………………………………4分

＝＝-1…………………………………………………6分

（Ⅱ）∵A+B+C=180°,∴C =180°- (  A+B).

由（Ⅰ）知,tanC=-tan(A+B) =1,

∵C為三角形內角∴C =45°.∴sinC =.………………………………8分

∵tanA=3且A為三角形內角, ∴sinA =.……………………………10分

由正弦定理,…………………………………………………11分

得BC=×.………………………………………………12分

（16）（共12分）

解：（Ⅰ）記“從袋中任意取出兩個球，兩球顏色不同”為事件A, ……………1分

取出兩個球共有方法C=10種，………………………………………2分

其中“兩球一白一黑”有C?C=6種.………………………………4分

∴P(A)= .………………………………………………………6分

答：從袋中任意取出兩個球，兩球顏色不同的概率是.

（Ⅱ）記“取出一球，放回后再取出一個球，兩次取出的球顏色不同”為事件B，……

………………………………………………………………………………7分

取出一球為白球的概率為，……………………………………………9分

取出一球為黑球的概率為，……………………………………………10分

∴P（B）=××=.…………………………………………12分

答：取出一球，放回后再取出一個球，兩次取出的球顏色不同的概率是.

（17）（共14分）

法一：（Ⅰ）在直三棱柱ABC-中，∥AB.

∴∠BAC是與AC所成的角.………………………………………2分

在Rt△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，

∴∠BAC=45°.…………………………………………………………3分

∴與AC所成角為45°.……………………………………………4分

（Ⅱ）取AC中點E，連結DE，BE，

∵D是的中點，則DE∥.

∵⊥平面ABC，∴DE⊥平面ABC.

則BE是BD在平面ABC內的射影. …

………………………………………6分

∵AB=BC，∴BE⊥AC.

∴BD⊥AC. …………………………7分

同理可證BD⊥.………………8分

又AC∩=C，

∴BD⊥平面.………………9分

（Ⅲ）取中點F，連結CF，BF，………………………………………10分

∵AB=，∴BF⊥.

∵AC==，∴CF⊥.

則∠BFC為二面角C-AB₁-B的平面角.……………………………12分

在Rt△BFC中，BF= ，BC=1，∠FBC=90°，

則tanBFC=.……………………………………………………13分

∴∠BFC=arctan.………………………………………………14分

即二面角C--B的大小為arctan.

法二：（Ⅰ）同法一.

（Ⅱ）建立空間直角坐標系B-xyz，如圖，

則B(0,0,0), A(1,0,0) ,

C(0,1,0), B₁(0,0,1),

A₁(1,0,1),D(,,).

………………………6分

則=(,,),

=(-1,1,0),

=(-1,0,1).

∴?=0，?=0.

……………………………8分

∴BD⊥AC，BD⊥，

且AC∩=A.

∴BD⊥平面.………………………………………………………9分

（Ⅲ）∵BC⊥，BC⊥AB，AB∩=B，

     ∴BC⊥平面.

∴=(0,1,0)是平面的法向量. ………………………………11分

由（Ⅱ）可知=(,,)是平面的法向量.

          cos＜,＞= ==.………………………13分

          即二面角C--B的大小為arccos.……………………………14分

（18）（共14分）

解：(Ⅰ) ∵切點為（1，3），∴k+1=3，得k=2. …………………………………1分

∵f′(x)=3x²+a，∴f′(1)=3+a=2，得a=-1. ……………………………2分

則f(x) =x³-x+b.

由f(1)=3得b=3. …………………………………………………………3分

∴f(x)=x³-x+3. ……………………………………………………………4分

(Ⅱ)由f(x)=x³-x+3得f′(x)=3x²-1,

令f′(x)= 3x²-1＞0，解得x＜-或x＞.…………………………6分

∴函數(shù)f(x)的增區(qū)間為(-∞，-)，(，+∞). …………………8分

(Ⅲ)F(x)=x³-3x，F′(x)=3x²-3

   令F′(x)=3x²-3=0，得x₁=-1,x₂=1. ………………………………………10分

   列出x，F′(x)，F(x)關系如下：

x

0

(0,1)

1

(1,2)

2

F′(x)

-

0

+

F(x)

0

遞減

極小值

-2

遞增

2

……………………………………………………………………………12分

∴當x∈[0,2]時，F(x)的最大值為2，最小值為-2. ……………………14分

（19）（共14分）

解：（Ⅰ）∵S_n+1=4a_n-2(n=1, 2, 3…)，

∴S₂=4a₁-2=6.

∴a₂=S₂- a₁=4. ……………………………………………………………2分

同理可得a₃=8. ……………………………………………………………3分

（Ⅱ）∵S_n+1=4a_n-2(n=1, 2, 3…)，

∴S_n =4a_n-1-2(n≥2). ……………………………………………………4分

 兩式相減得：a_n+1=4a_n-4a_n-1………………………………………………5分

變形得：a_n+1-2a_n=2a_n-4a_n-1=2(a_n-2a_n-1)(n≥2)

則：a_n-2a_n-1=2(a_n-1-2a_n-2) (n≥3)…………………………………………6分

a_n-2a_n-1=2(a_n-1-2a_n-2)=2²(a_n-2-2a_n-3) =2³(a_n-3-2a_n-4) =…=2^n-2(a₂-2a₁)

∵a₂-2a₁=0 ∴a_n-2a_n-1=2^n-2(a₂-2a₁) =0.

數(shù)列{a_n -2a_n-1}是常數(shù)列. …………………………………………………9分

（Ⅲ）由（Ⅱ）可知：a_n=2a_n-1 (n≥2).

數(shù)列{ a_n}是以2為首項，以2為公比的等比數(shù)列.

∴a_n=2ⁿ，………………………………………………………………10分

∴?＜.………………………………12分

+…+＜++…+=.………………………14分

（20）（共14分）

解：（Ⅰ）設橢圓方程為：=1(a＞b＞0).

         由2b=2得b=1. …………………………………………………………1分

又=，

        ∴解得a=，c=1.

        ∴橢圓方程為：.…………………………………………3分

離心率e=.………………………………………………………4分

（Ⅱ）由(Ⅰ)知點F坐標為(1,0),又直線AB的斜率存在，設AB的斜率為k,

則AB的方程為y=k(x-1). ………………………………………………5分

由得(1+2k²) x²-4k²x+2k²-2=0   (*)………………………6分

設A(x₁+ y₁)，B(x₂+ y₂)，則x₁，x₂是（*）方程兩根，且x₁＜x₂，

∴x₁=.

∵AD∥BC∥x軸，且|BC|=|AD|,

∴

解得k=±1.

∴直線AB的方程為x- y- 1=0或x+y- 1=0. …………………………8分

（Ⅲ）∵點F（1，0），E（2，0），∴EF中點N的坐標為（，0）.

①當AB⊥x軸時，A（1，y₁），B（1，- y₁），C（2，-y₁），

那么此時AC的中點為（，0），即AC經過線段EF的中點N. ………9分

②當AB不垂直x軸時，則直線AB斜率存在，

設直線AB的方程為y=k(x-1), …………………………………………10分

由（*）式得.

又∵＜2，得≠0,

故直線AN，CN的斜率分別為

∴?.

又∵

∴

且AN，CN有公共點N，∴A，C，N三點共線.

∴直線AC經過線段EF的中點N.

綜上所述，直線AC經過線段EF的中點. …………………………………14分

說明：其他正確解法按相應步驟給分.