1. 在坐標平面上,具有整數坐標的點構成單位邊長的正方格的頂點。這些正方格被涂上黑白相間的兩種顏色(像棋盤一樣)。對于任意一對正整數m和n,考慮一個直角三角形其頂點具有整數坐標,兩腰長分別為mn,且其兩腰都在這些正方格的邊上。 設S1為這個三角形區(qū)域中所有黑色部分的總面積,S2則為所有白色部分的總面積。 令f(m,n)=|S1-S2|,

2. 設∠A△ABC中最小的?角。BC將此三角形的外接圓分成兩個弧。U為落在不含A點的弧上且異于B,C的一點。線段AB,AC的垂直平分線分別交AUV,W
直線BV, CW相交于T,

求證:AU=TB+TC。

3. x1,x2,...,xn是正實數滿足|x1+x2+...xn|=1 且對所有i有|xi|≤(n+1)/2。

試證明存在x1,x2,...,xn的一個 排列y1,y2,...,yn滿足

|y1+2y2+...+nyn|≤(n+1)/2。 

4. 一個n×n的矩陣稱為一個n階“銀矩陣”,如果它的元素取自集合S={1,2,...,2n-1}且對于每一個i=1,2,...,n,它的第i列與第i行中的所有元素合起來恰好是S中的所有元素。求證:

 

5. 試找出所有的正整數對(a,b)滿足

a

b2

=

b

a

 

 

6. 對每個正整數n,將n表示成2的非負整數次方之和,令f(n)為正整數n的上述不同表示法的個數。如果倆個表示法的差別僅在于他們中各個數相加的次序不同,這兩個表示法就被視為是相同的。例如,f(4)=4,因為4恰有下列四種不同的表示法:4; 2+2; 2+1+1;1+1+1+1。

求證:對于任意整數n≥3,  

2

n2/4

< f(2n)<

2

n2/2

 

 

 


同步練習冊答案