2009屆高考數(shù)學(xué)壓軸題預(yù)測

專題二 數(shù)列

1.       已知函數(shù)，是方程f(x)＝0的兩個根，是f(x)的導(dǎo)數(shù)；設(shè)，(n＝1，2，……)

 (1)求的值；

 (2)證明：對任意的正整數(shù)n，都有＞a；

 (3)記(n＝1，2，……)，求數(shù)列{bn}的前n項和Sn。

解析：(1)∵，是方程f(x)＝0的兩個根，

∴；

 (2)，

＝，∵，∴有基本不等式可知(當(dāng)且僅當(dāng)時取等號)，∴同，樣，……，(n＝1，2，……)，

 (3)，而，即，

，同理，，又

2.       已知數(shù)列的首項（a是常數(shù)，且），（），數(shù)列的首項，（）。

（1）證明：從第2項起是以2為公比的等比數(shù)列；

（2）設(shè)為數(shù)列的前n項和，且是等比數(shù)列，求實(shí)數(shù)的值；

（3）當(dāng)a>0時，求數(shù)列的最小項。

分析：第（1）問用定義證明，進(jìn)一步第（2）問也可以求出，第（3）問由的不同而要分類討論。

解：（1）∵

∴

　　　(n≥2)

由得，，

∵，∴ ，

即從第2項起是以2為公比的等比數(shù)列。

（2）

當(dāng)n≥2時，

∵是等比數(shù)列, ∴(n≥2)是常數(shù)，

∴3a+4=0，即 。

（3）由（1）知當(dāng)時，，

所以，

所以數(shù)列為2a+1，4a，8a-1，16a，32a+7，……

顯然最小項是前三項中的一項。

當(dāng)時，最小項為8a-1；

當(dāng)時，最小項為4a或8a-1；

當(dāng)時，最小項為4a；

當(dāng)時，最小項為4a或2a+1；

當(dāng)時，最小項為2a+1。

 

 點(diǎn)評：本題考查了用定義證明等比數(shù)列，分類討論的數(shù)學(xué)思想，有一定的綜合性。

考點(diǎn)二：求數(shù)列的通項與求和

3.       已知數(shù)列中各項為：

  12、1122、111222、……、  ……

                                                                                     

  （1）證明這個數(shù)列中的每一項都是兩個相鄰整數(shù)的積.

  （2）求這個數(shù)列前n項之和Sn . 

 

分析：先要通過觀察，找出所給的一列數(shù)的特征，求出數(shù)列的通項，進(jìn)一步再求和。

解：（1） 

                   

        
 
        
  
  
            
   
            
    
    
            
    
            個
             = A
(A+1) ，  
得證 
            (2)

             
             點(diǎn)評：本題難點(diǎn)在于求出數(shù)列的通項，再將這個通項“分成” 兩個相鄰正數(shù)的積，解決此題需要一定的觀察能力和邏輯推理能力。
            4.      
已知數(shù)列滿足，．
            （Ⅰ）求數(shù)列的通項公式；
            （Ⅱ）設(shè)，求數(shù)列的前項和；
            （Ⅲ）設(shè)，數(shù)列的前項和為．求證：對任意的，．
             
            分析：本題所給的遞推關(guān)系式是要分別“取倒”再轉(zhuǎn)化成等比型的數(shù)列，對數(shù)列中不等式的證明通常是放縮通項以利于求和。
            解：（Ⅰ），，
            又，數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列．
             ，　即.　　　　　　　　 　　
            （Ⅱ）．
            ．      
            （Ⅲ），
            ．        
            
            當(dāng)時，則
            ．
            ，   對任意的，．        

             點(diǎn)評：本題利用轉(zhuǎn)化思想將遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化成我們熟悉的結(jié)構(gòu)求得數(shù)列的通項，第三問不等式的證明要用到放縮的辦法，這將到下一考點(diǎn)要重點(diǎn)講到。
            考點(diǎn)三：數(shù)列與不等式的聯(lián)系
            5.      
已知為銳角，且，
            函數(shù)，數(shù)列{an}的首項.
                ⑴ 求函數(shù)的表達(dá)式；
                ⑵ 求證：；
            ⑶
求證：
            分析：本題是借助函數(shù)給出遞推關(guān)系，第（2）問的不等式利用了函數(shù)的性質(zhì)，第（3）問是轉(zhuǎn)化成可以裂項的形式，這是證明數(shù)列中的不等式的另一種出路。
            解：⑴    又∵為銳角
                       
∴    ∴        
                   ⑵       ∵     ∴都大于0
                       
∴     
∴        
                   ⑶   
            ∴            

                       
∴
                       
           
            ∵,  , 
又∵
                       
∴           
∴
                       
∴
            點(diǎn)評：把復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化成清晰的問題是數(shù)學(xué)中的重要思想，本題中的第（3）問不等式的證明更具有一般性。
             
            6.      
已知數(shù)列滿足
            （Ⅰ）求數(shù)列的通項公式；
            （Ⅱ）若數(shù)列滿足，證明：是等差數(shù)列；
            （Ⅲ）證明：
             
            分析：本例（1）通過把遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化成等比型的數(shù)列；第（2）關(guān)鍵在于找出連續(xù)三項間的關(guān)系；第（3）問關(guān)鍵在如何放縮。
            解：（1），
            故數(shù)列是首項為2，公比為2的等比數(shù)列。
            ，
            （2），
            ①
            ②
            ②―①得，即③
            ④
            ④―③得，即
            所以數(shù)列是等差數(shù)列
            （3）
            設(shè)，則 
             
             點(diǎn)評：數(shù)列中的不等式要用放縮來解決難度就較大了，而且不容易把握，對于這樣的題要多探索，多角度的思考問題。
            7.      
已知函數(shù),數(shù)列滿足, 
            ; 數(shù)列滿足, .求證:
            （Ⅰ）
            （Ⅱ）
                （Ⅲ）若則當(dāng)n≥2時,.
             
            分析：第（1）問是和自然數(shù)有關(guān)的命題，可考慮用數(shù)學(xué)歸納法證明；第（2）問可利用函數(shù)的單調(diào)性；第（3）問進(jìn)行放縮。
            解：(Ⅰ)先用數(shù)學(xué)歸納法證明,.
                （1）當(dāng)n=1時,由已知得結(jié)論成立;
                （2）假設(shè)當(dāng)n=k時,結(jié)論成立,即.則當(dāng)n=k+1時,
                因?yàn)?<x<1時,,所以f(x)在(0,1)上是增函數(shù).
                又f(x)在上連續(xù),所以f(0)<f()<f(1),即0<. 
                故當(dāng)n=k+1時,結(jié)論也成立. 即對于一切正整數(shù)都成立.
                又由, 得,從而.
                綜上可知
                (Ⅱ)構(gòu)造函數(shù)g(x)=-f(x)= ,
0<x<1,
                由,知g(x)在(0,1)上增函數(shù).
                又g(x)在上連續(xù),所以g(x)>g(0)=0.
            因?yàn)?sub>,所以,即>0,從而
            (Ⅲ) 因?yàn)?,所以, , 
                所以   ――――① , 
                由(Ⅱ)知:,  所以= ,
                因?yàn)?sub>, n≥2, 
            所以
<<=――――② .
            由①② 兩式可知: .
             
             點(diǎn)評：本題是數(shù)列、超越函數(shù)、導(dǎo)數(shù)的學(xué)歸納法的知識交匯題，屬于難題，復(fù)習(xí)時應(yīng)引起注意。
            考點(diǎn)四：數(shù)列與函數(shù)、向量等的聯(lián)系
            8.      
已知函數(shù)f(x)=，設(shè)正項數(shù)列滿足=l，．
               (1)寫出、的值; 
             (2)試比較與的大小，并說明理由；
            (3)設(shè)數(shù)列滿足=－，記Sn=．證明：當(dāng)n≥2時,Sn＜(2n－1)．
            分析：比較大小常用的辦法是作差法，而求和式的不等式常用的辦法是放縮法。
            解：(1)，因?yàn)?sub>所以
            （2）因?yàn)?sub>所以
            ,
            因?yàn)?sub>所以與同號，
            因?yàn)?sub>，…，即
            （3）當(dāng)時，
            ，
            所以，
            所以
             點(diǎn)評：本題是函數(shù)、不等式的綜合題，是高考的難點(diǎn)熱點(diǎn)。
             
            9.      
在平面直角坐標(biāo)系中，已知三個點(diǎn)列{An}，{Bn}，{Cn}，其中
                ，滿足向量與向量共線，且點(diǎn)（B，n）在方向向量為（1，6）的
            線上
               （1）試用a與n表示；
               （2）若a6與a7兩項中至少有一項是an的最小值，試求a的取值范圍。
             
            分析：第（1）問實(shí)際上是求數(shù)列的通項；第（2）問利用二次函數(shù)中求最小值的方式來解決。
            解：（1）
            又∵{Bn}在方向向量為（1，6）的直線上，
               
            （2）∵二次函數(shù)是開口向上，對稱軸為的拋物線
            又因?yàn)樵赼6與a7兩項中至少有一項是數(shù)列{an}的最小項，
            ∴對稱軸
             
             點(diǎn)評：本題是向量、二次函數(shù)、不等式知識和交匯題，要解決好這類題是要有一定的數(shù)學(xué)素養(yǎng)的。
             
             
            
				
	
            
		
            


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