Question

（2012?東城區(qū)模擬）如圖所示，光滑水平面上靜止放置著一輛平板車A．車上有兩個小滑塊B和C（都可視為質點），B與車板之間的動摩擦因數(shù)為μ，而C與車板之間的動摩擦因數(shù)為2μ，開始時B、C分別從車板的左、右兩端同時以大小相同的初速度v₀相向滑行．經過一段時間，C、A的速度達到相等，此時C和B恰好發(fā)生碰撞．已知C和B發(fā)生碰撞時兩者的速度立刻互換，A、B、C三者的質量都相等，重力加速度為g．設最大靜摩擦力大小等于滑動摩擦力．
（1）求開始運動到C、A的速度達到相等時的時間；
（2）求平板車平板總長度；
（3）已知滑塊C最后沒有脫離平板，求滑塊C最后與車達到相對靜止時處于平板上的位置．

Answer 1

分析：（1）根據動量定理分別對C、A研究，求出開始運動到C、A的速度達到相等時的時間．
（2）由動量定理求出C和B發(fā)生碰撞時B的速度，用平均速度分別求出從開始到C、B碰撞的過程C、B的位移大小，兩者之和等于平板車平板總長度；
（3）C和B發(fā)生碰撞時兩者交換速度．根據牛頓第二定律運動整體法和隔離法判斷是否相對靜止．再根據動能定理分別研究C、A的位移，由幾何關系求出滑塊C在車板上運動的總位移，確定C最后與車達到相對靜止時處于平板上的位置．

解答：解：
（1）設A、B、C三個物體的質量都為m，從開始到C、A的速度達到相等的過程所用時間為t，C、A相等的速度為v_C，根據動量定理得
 對C：-2μmgt=mv_C-mv₀
 對A：（2μmg-μmg）t=mv_C
聯(lián)立解得，t=

v0

3μg

，v_C=

1

3

v0
（2）對B，由動量定理得，
-μmgt=mv_B-mv₀
得到，v_B=

2

3

v0
對C：xC=

v0+vC

2

t，
對B：xB=

v0+vB

2

t
平板車平板總長度L=x_B+x_C
解得，L=

v 2 0

2μg

（3）對A：x_A=

vAt

2

=

v 2 0

18μg

，A、B、C三者的位移和末速度分別為：xA=

v 2 0

18μg

，方向向左；
 xB=

5 v 2 0

18μg

，方向向右；xC=

2 v 2 0

9μg

，方向向左．
 vA=vC=

1

3

v0，方向向左；vB=

2

3

v0，方向向右．C和B發(fā)生碰撞時兩者的速度立刻互換，則碰撞后C和B的速度各為：v_C′=

2

3

v0，方向向右，vB′=

1

3

v0，方向向左．
碰撞后B和A的速度相等，設B和A保持相對靜止一起運動，此時對B和A整體有f_C=2μmg=2ma
對B：B受到的摩擦力為f_B′=ma=μmg，說明B和A保持相對靜止一起運動．
設C最后停在車板上時，共同速度為v，由動量守恒定律得
  mv_C′-2mv_B′=2mv
可得，v=0
對這一過程，對C，由動能定理得
-2μmgS_C′=0-

1

2

m

v

′2 C

對B和A整體，由動能定理得
-2μmgS_A′=0-

1

2

2m

v

′2 B

解得，C和A的位移分別是
  S_C′=

2 v 2 0

9μg

，向右，S_A′=

v 2 0

18μg

，向左．
則C先相對于車板向左移動x₁=x_C-x_A=

v 2 0

6μg

，后相對于車板向右移動S=S_C′-S_A′=

v 2 0

6μg

，恰好回到原來的位置，即滑塊C最后停在車板的右端．
答：
（1）開始運動到C、A的速度達到相等時的時間為t=

v0

3μg

；
（2）平板車平板總長度L=

v 2 0

2μg

；
（3）滑塊C最后停在車板的右端．

點評：本題是動量定理、動能定理、動量守恒定律、牛頓第二定律等力學知識的綜合應用，要會選擇解題規(guī)律：涉及力在時間的累積效果可選用動量定理研究．涉及力在空間的累積效果可選用動能定理研究．