Question

17．如圖所示，光滑水平地面上放有質量為m₂=1kg的圓弧槽和質量為m₃=1kg的長木板，木板的上表面與光滑圓弧面末端水平相切，m₂與m₃間用特殊的感應開關鎖定在一起．有一個可視為質點的質量為m₁=1kg的小物塊，從光滑平臺上的A點以v₀=3m/s的初速度水平滑出，恰好無碰撞地從B點進入圓弧面，當m₁滑到C點時，m₂與m₃間的感應開關解除鎖定，然后小物塊滑上長木板．已知小物塊與長木板間的動摩擦因數(shù)μ=0.3，圓弧面的半徑為R=0.25m，C點和圓弧的圓心連線與豎直方向的夾角θ=53°（sin53°=0.8，cos53°=0.6），不計空氣阻力，取重力加速度為g=10m/s²．求：
（1）A、B兩點的豎直高度差h；
（2）若固定圓弧槽，小物塊到達圓弧面末端C點時對m₂的壓力多大？
（3）若不固定圓弧槽，要使小物塊不滑出長木板，木板的長度L至少多長？

Answer 1

分析 （1）小球從A點拋出做平拋運動，將B點的速度進行分解，求出豎直分速度的大小，從而根據(jù)豎直方向上的運動規(guī)律求出AB兩點的高度差．
（2）運用動能定理求出到達C點的速度，根據(jù)牛頓第二定律求出支持力的大小，從而得出物塊對軌道的壓力．
（3）A到C對系統(tǒng)由水平動量守恒，根據(jù)動量守恒定律及機械能守恒定律列式，之后對m₁+m₂，根據(jù)動量守恒定律和能量守恒定律列式，聯(lián)立方程即可求解．

解答 解：（1）根據(jù)幾何關系可知：小物塊在B點速度大小為：v_B=$\frac{{v}_{0}}{cos53°}=\frac{3}{0.6}$=5m/s，
豎直分量：v_By=4 m/s 
下落高度：h=$\frac{{{v}_{By}}^{2}}{2g}=\frac{16}{20}$=0.8m  
（2）A到C的過程中，根據(jù)動能定理得：m₁g[h+R（1-cosθ）]=$\frac{1}{2}$m₁v₁²-$\frac{1}{2}$m₁v₀²
C點：F_N-m₁g=m₁$\frac{{{v}_{1}}^{2}}{R}$
由牛頓第三定律：F_N′=F_N=118N
（3）A到C對系統(tǒng)由水平動量守恒有：m₁v₀=m₁v₃-（m₂+m₃）v₄
由機械能守恒有m₁g[h+R（1-cosθ）]+$\frac{1}{2}$m₁v₀²=$\frac{1}{2}$m₁v₃²+$\frac{1}{2}$（m₂+m₃）v₄²
解得：v₃=5m/s；  v₄=1m/s
之后對m₁+m₂，根據(jù)動量守恒定律得：m₁v₃-m₂v₄=（m₁+m₂）v₅
μm₁gL=$\frac{1}{2}$m₁v₁²+$\frac{1}{2}$m₂v₄²-$\frac{1}{2}$（m₁+m₂）v₅²
解得：L=3m               
答：（1）A、B兩點的豎直高度差h為0.8m；
（2）若固定圓弧槽，小物塊到達圓弧面末端C點時對m₂的壓力為118N；
（3）若不固定圓弧槽，要使小物塊不滑出長木板，木板的長度L至少位3m．

點評 本題綜合考查了動能定理、動量守恒定律、能量守恒定律等知識，綜合性較強，關鍵理清物塊的運動過程，選擇合適的規(guī)律進行求解．