Question

11．如圖，水平轉(zhuǎn)盤可繞豎直軸OO′以角速度ω勻角速轉(zhuǎn)動(dòng)，在轉(zhuǎn)盤上沿直徑方向開(kāi)個(gè)溝槽，質(zhì)量為2m的小物塊A與質(zhì)量為m的小物塊B，用長(zhǎng)為L(zhǎng)的輕繩連接放在溝槽內(nèi)，并分居于圓心的兩側(cè)；A與槽的摩擦不計(jì)，B只與槽底存在摩擦，滑動(dòng)摩擦因數(shù)為μ=$\frac{3}{2}$$\frac{{ω}^{2}L}{g}$，且最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力．
（1）當(dāng)B與圓盤中心的距離為$\frac{L}{3}$時(shí)，兩物塊可保持與圓盤一起轉(zhuǎn)動(dòng)，并保持相對(duì)靜止，求此時(shí)物塊B受到的摩擦力大小與方向；
（2）若用x表示B與圓盤中心的距離，要保證兩物塊可保持與圓盤一起轉(zhuǎn)動(dòng)，并保持相對(duì)靜止，求x的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）設(shè)繩子的拉力為T，分別對(duì)A和B進(jìn)行受力分析，結(jié)合牛頓第二定律即可求出摩擦力的大小和方向；
（2）設(shè)B與圓盤中心的距離為x，結(jié)合摩擦力指向圓心和背離圓心兩種情況進(jìn)行討論，即可得出x的范圍．

解答 解：（1）設(shè)A、B間輕繩的拉力大小為T，對(duì)A受力分析可知其向心力只T提供，有：
T=$2m•{ω}^{2}•\frac{2}{3}L$…①
對(duì)B受力分析，可知其向心力由T和摩擦力f提供，有：
T-f=$m{ω}^{2}•\frac{1}{3}L$…②
解得：f=mω²L，方向背離圓心…③
（2）假設(shè)B與圓盤中心的距離為x₁時(shí)，摩擦力仍背離圓心，且恰好將要相對(duì)滑動(dòng)
有：${T}_{1}-μmg=m{ω}^{2}{x}_{1}$…④
對(duì)A有：${T}_{1}=2m{ω}^{2}（L-{x}_{1}）$…⑤
解得：x₁=$\frac{1}{6}L$…⑥
若假設(shè)B與圓盤中心的距離為x₂時(shí)，摩擦力指向圓心，且恰好將要相對(duì)滑動(dòng)
有：${T}_{2}+μmg=m{ω}^{2}{x}_{2}$…⑦
對(duì)A有：${T}_{2}=2m{ω}^{2}（L-{x}_{2}）$…⑧
解得：x₂=$\frac{7}{6}L$…⑨
考慮到兩物塊需要分居于圓心兩側(cè)，x取值需滿足：$\frac{1}{6}L≤x≤L$
答：（1）當(dāng)B與圓盤中心的距離為$\frac{L}{3}$時(shí)，兩物塊可保持與圓盤一起轉(zhuǎn)動(dòng)，并保持相對(duì)靜止，此時(shí)物塊B受到的摩擦力大小是mω²L，方向背離圓心；
（2）x的取值范圍是$\frac{1}{6}L≤x≤L$．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵是找出向心力的來(lái)源，知道AB兩物體是由摩擦力和繩子的拉力提供向心力，難度不大，屬于中檔題目．