Question

8．如圖所示．兩垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)以MN為邊界，MN邊界上方磁感應(yīng)強(qiáng)度大小B₁大于下方磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小B₂（未知）．有一長為l的平直擋板與MN重合，一比荷為c的帶正電粒子從擋板的中點(diǎn)O處沿垂直擋板方向以速度v=$\frac{c{B}_{1}l}{k}$（k為偶數(shù)）進(jìn)入上方磁場(chǎng)中，假設(shè)粒子與擋板發(fā)生碰撞并反彈過程沒有能量損失，且粒子在下方磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)不會(huì)與擋版發(fā)生碰撞．粒子最終能回到出發(fā)點(diǎn)O，不計(jì)粒子重力，若k=4，則粒子從擋板邊緣進(jìn)入下方磁場(chǎng)中，
（1）試畫出k=10時(shí)粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡．
（2）求兩磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小的比值$\frac{{B}_{1}}{{B}_{2}}$．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)洛倫茲力提供向心力求出半徑，畫出軌跡
（2）k=4時(shí)粒子在上下磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌跡，得到半徑之間的關(guān)系，從而求得磁感應(yīng)強(qiáng)度之比

解答 解：（1）粒子從O點(diǎn)進(jìn)入上方磁場(chǎng)，洛倫茲力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律$qvB=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{R}$，得$R=\frac{mv}{qB}$
在上方磁場(chǎng)中，半徑${R}_{1}^{\;}=\frac{mv}{q{B}_{1}^{\;}}$=$\frac{1}{c{B}_{1}}•\frac{c{B}_{1}l}{k}$=$\frac{l}{k}$
當(dāng)k=10時(shí)，$v=\frac{c{B}_{1}^{\;}l}{k}=\frac{c{B}_{1}^{\;}l}{10}$
粒子在上方磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑${R}_{1}^{′}=\frac{mv}{q{B}_{1}^{\;}}=\frac{l}{10}$，軌跡如圖所示：


（2）粒子在下方磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)，軌跡半徑${R}_{2}^{\;}=\frac{mv}{q{B}_{2}^{\;}}$=$\frac{1}{c{B}_{2}}•\frac{c{B}_{1}l}{k}$=$\frac{{B}_{1}l}{k{B}_{2}}$，
設(shè)粒子出發(fā)后經(jīng)過n個(gè)半圓軌跡進(jìn)入MN下方磁場(chǎng)，由幾何關(guān)系可得4（n-1）R₁＜l≤4R₁，
又4nR₁=2R₂，
得$\frac{{B}_{1}}{{B}_{2}}$=2n，為偶數(shù)，$\frac{k}{2}$≤$\frac{{B}_{1}}{{B}_{2}}$＜$\frac{k}{2}$+2，
由于k為偶數(shù)，則$\frac{{B}_{1}}{{B}_{2}}$=$\frac{k}{2}$或$\frac{k}{2}$+1．
當(dāng)k等于4的倍數(shù)時(shí)，$\frac{{B}_{1}}{{B}_{2}}$=$\frac{k}{2}$，
當(dāng)k不等于4的倍數(shù)時(shí)，$\frac{{B}_{1}}{{B}_{2}}$=$\frac{k}{2}$+1．
答：（1）k=10時(shí)粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡見上圖．
（2）當(dāng)k等于4的倍數(shù)時(shí)，$\frac{{B}_{1}}{{B}_{2}}$=$\frac{k}{2}$，當(dāng)k不等于4的倍數(shù)時(shí)，$\frac{{B}_{1}}{{B}_{2}}$=$\frac{k}{2}$+1．

點(diǎn)評(píng) 本題題目新穎，有創(chuàng)意，解題的基本思想不變，核心原理洛倫茲力提供向心力，求半徑，確定圓心，畫出軌跡．