Question

19．如圖所示，在無(wú)限長(zhǎng)的水平邊界AB和CD間有一勻強(qiáng)電場(chǎng)，同時(shí)在AEFC、BEFD區(qū)域分別存在水平向里和向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小相同，EF為左右磁場(chǎng)的分界線．AB邊界上的P點(diǎn)到邊界EF的距離為（2+$\sqrt{3}$）L．一帶正電微粒從P點(diǎn)的正上方的O點(diǎn)由靜止釋放，從P點(diǎn)垂直AB邊界進(jìn)入電、磁場(chǎng)區(qū)域，且恰好不從AB邊界飛出電、磁場(chǎng)．已知微粒在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)軌跡為圓弧，重力加速度大小為g，電場(chǎng)強(qiáng)度大小E（E未知）和磁感應(yīng)強(qiáng)度大小B（B未知）滿足$\frac{E}{B}$=2$\sqrt{gL}$，不考慮空氣阻力，求：
（1）微粒在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的半徑多大；
（2）O點(diǎn)距離P點(diǎn)的高度h多大；
（3）若微粒從O點(diǎn)以v₀=$\sqrt{3gL}$水平向左平拋，且恰好垂直下邊界CD射出電、磁場(chǎng)，則微粒在這個(gè)過程中運(yùn)動(dòng)的最短時(shí)間t多長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）微粒帶電量為q、質(zhì)量為m，微粒在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)速率v₁時(shí)恰好與AB相切，畫出運(yùn)動(dòng)軌跡，根據(jù)幾何關(guān)系求解半徑；
（2）微粒在進(jìn)入電磁場(chǎng)前做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，在電磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，應(yīng)用牛頓第二定律與動(dòng)能定理可以求出O到P的距離；
（3）微粒在進(jìn)入電磁場(chǎng)前做平拋運(yùn)動(dòng)，在電磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)微粒做圓周運(yùn)動(dòng)的周期公式求出微粒的運(yùn)動(dòng)時(shí)間．

解答 解：（1）微粒帶電量為q、質(zhì)量為m，微粒在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)速率v₁時(shí)恰好與AB相切，如圖甲所示，O₁、O₂為微粒運(yùn)動(dòng)的圓心，O₁O₂與豎直方向夾角為θ，由幾何知識(shí)知
sinθ=$\frac{\sqrt{3}}{2}$
微粒半徑r₁，由幾何關(guān)系有r₁+r₁sinθ=$（2+\sqrt{3}）L$，得r₁=2L．
（2）微粒軌跡為圓弧，有qE=mg．
由洛倫茲力公式和牛頓第二定律有$q{v}_{1}B=m\frac{{{v}_{1}}^{2}}{{r}_{1}}$
由動(dòng)能定理有$mgh=\frac{1}{2}{{v}_{1}}^{2}$
已知$\frac{E}{B}$=2$\sqrt{gL}$，得h=$\frac{L}{2}$

（3）微粒平拋到AB邊界上的M點(diǎn)的時(shí)間為t₁，水平距離x₁，由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式有
x₁=v₀t₁，$h=\frac{1}{2}g{{t}_{1}}^{2}$，
代入v₀=$\sqrt{3gL}$、h=$\frac{L}{2}$，得t₁=$\sqrt{\frac{L}{g}}$、x₁=$\sqrt{3}L$．
微粒在M點(diǎn)時(shí)豎直分速度v₁=$\sqrt{gL}$，速度為v=2$\sqrt{gL}$、與AB夾角為θ=30°．
做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑${r}_{2}=\frac{mv}{Bq}=\frac{E}{B}•\frac{v}{g}=2\sqrt{gL}•\frac{2\sqrt{gL}}{g}$=4L．
由幾何關(guān)系知微粒從M點(diǎn)運(yùn)動(dòng)30°垂直到達(dá)EF邊界．
微粒在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)周期T=2π$\frac{{r}_{2}}{v}$=$4π\(zhòng)sqrt{\frac{L}{g}}$．
由題意有微粒運(yùn)動(dòng)時(shí)間t₂=$\frac{1}{3}$T=$\frac{4π}{3}\sqrt{\frac{L}{g}}$   
微粒運(yùn)動(dòng)時(shí)間t=t₁+t₂=$（\frac{4π}{3}+1）\sqrt{\frac{L}{g}}$
答：（1）微粒在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的半徑為2L；
（2）O點(diǎn)距離P點(diǎn)的高度h為$\frac{L}{2}$；
（3）若微粒從O點(diǎn)以v₀=$\sqrt{3gL}$水平向左平拋，且恰好垂直下邊界CD射出電、磁場(chǎng)，則微粒在這個(gè)過程中運(yùn)動(dòng)的最短時(shí)間為$（\frac{4π}{3}+1）\sqrt{\frac{L}{g}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了求距離、微粒的運(yùn)動(dòng)時(shí)間問題，分析清楚微粒運(yùn)動(dòng)過程，應(yīng)用動(dòng)能定理、牛頓第二定律、平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律即可正確解題．