Question

10．兩塊足夠大的平行金屬極板水平放置，極板間加有空間分布均勻、大小隨時(shí)間周期性變化的電場(chǎng)和磁場(chǎng)，變化規(guī)律分別如圖1、2所示（規(guī)定垂直紙面向里為磁感應(yīng)強(qiáng)度的正方向）．在t=0時(shí)刻由負(fù)極板釋放一個(gè)初速度為零的帶負(fù)電的粒子（不計(jì)重力）．若電場(chǎng)強(qiáng)度E₀、磁感應(yīng)強(qiáng)度B₀、粒子比荷$\frac{q}{m}$均已知，且t₀=$\frac{2πm}{qB}$，兩板間距h=$\frac{10{π}^{2}m{E}_{0}}{q{{B}_{0}}^{2}}$
（1）求粒子在0～t₀時(shí)間內(nèi)的位移大小與極板間距h的比值．
（2）求粒子在極板間做圓周運(yùn)動(dòng)的最小半徑R₁與最大半徑R₂（用h表示）．
（3）若板間電場(chǎng)強(qiáng)度E隨時(shí)間的變化仍如圖1所示，磁場(chǎng)的變化改為如圖3所示，其中磁場(chǎng)方向在1.5t₀、3.5t₀、5.5t₀…周期性變化．試求出粒子在板間運(yùn)動(dòng)的時(shí)間（用t₀表示）．

Answer 1

分析 根據(jù)電場(chǎng)和磁場(chǎng)的變化，來(lái)對(duì)粒子在各個(gè)時(shí)間段內(nèi)的受力分析是解決該題的關(guān)鍵，此題電場(chǎng)力和磁場(chǎng)力不是同時(shí)存在的，所以要分別對(duì)小球在電場(chǎng)力和磁場(chǎng)力作用下的運(yùn)動(dòng)進(jìn)行分析，只在電場(chǎng)力作用時(shí)，粒子做加速直線運(yùn)動(dòng)，在只有洛倫茲力作用時(shí)，粒子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)．
（1）在0～t₀時(shí)間，只有電場(chǎng)力，粒子做加速運(yùn)動(dòng)，可運(yùn)用運(yùn)動(dòng)學(xué)公式和牛頓第二定律進(jìn)行求解．
（2）經(jīng)過(guò)${t}_{0}^{\;}$時(shí)間加速，粒子速度較小，粒子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑最小，粒子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)一周，繼續(xù)做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，恰好又做了一個(gè)完整的圓周運(yùn)動(dòng)，再勻加速直線運(yùn)動(dòng)一段距離到達(dá)上極板，所以粒子第二次勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑最大，根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求出最小半徑和最大半徑
（3）畫出粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡，分別求出勻加速直線運(yùn)動(dòng)的時(shí)間和勻速圓周運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，求出總時(shí)間

解答 解：（1）粒子在0～t₀時(shí)間內(nèi)：
${s}_{1}^{\;}=\frac{1}{2}a{t}_{0}^{2}$
$a=\frac{q{E}_{0}^{\;}}{m}$ 
得：$\frac{{s}_{1}^{\;}}{h}=\frac{1}{5}$
（2）粒子在t₀～2t₀時(shí)間內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，
運(yùn)動(dòng)速度${v}_{1}^{\;}=a{t}_{0}^{\;}=\frac{{E}_{0}^{\;}q{t}_{0}^{\;}}{m}$  
 且$q{v}_{1}^{\;}{B}_{0}^{\;}=m\frac{{v}_{1}^{2}}{{R}_{1}^{\;}}$
所以${R}_{1}^{\;}=\frac{h}{5π}$
又$T=\frac{2π{R}_{1}^{\;}}{{v}_{1}^{\;}}={t}_{0}^{\;}$所以粒子在t₀～2t₀時(shí)間內(nèi)恰好完成一個(gè)完整的圓周運(yùn)動(dòng)，
粒子在2t₀～3t₀時(shí)間內(nèi)做初速度為${v}_{1}^{\;}=a{t}_{0}^{\;}=\frac{{E}_{0}^{\;}q{t}_{0}^{\;}}{m}$的勻加速直線運(yùn)動(dòng)
有：${s}_{2}^{\;}={v}_{1}^{\;}{t}_{0}^{\;}+\frac{1}{2}\frac{{E}_{0}^{\;}q}{m}{t}_{0}^{2}=\frac{3}{5}h$
${v}_{2}^{\;}={v}_{1}^{\;}+\frac{{E}_{0}^{\;}q}{m}{t}_{0}^{\;}=\frac{2{E}_{0}^{\;}q}{m}{t}_{0}^{\;}$ 
粒子在3t₀～4t₀時(shí)間內(nèi)，有$q{v}_{2}^{\;}{B}_{0}^{\;}=m\frac{{v}_{2}^{2}}{{R}_{2}^{\;}}$
得：${R}_{2}^{\;}=2{R}_{1}^{\;}=\frac{2h}{5π}$
由于${s}_{1}^{\;}+{s}_{2}^{\;}+{R}_{2}^{\;}=\frac{h}{5}+\frac{3h}{5}+\frac{2h}{5π}＜h$，所以粒子在3t₀～4t₀時(shí)間內(nèi)繼續(xù)做一個(gè)完整的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，在4t₀～5t₀時(shí)間內(nèi)做勻加速直線運(yùn)動(dòng)出去
所以，粒子做圓運(yùn)動(dòng)的最大半徑為${R}_{2}^{\;}=\frac{2h}{5π}$
粒子在板間運(yùn)動(dòng)的軌跡圖如圖甲所示
（3）粒子在板間運(yùn)動(dòng)的軌跡圖如圖乙所示
勻加速運(yùn)動(dòng)有：$h=\frac{1}{2}a{t}_{1}^{2}$  
得${t}_{1}^{\;}=\sqrt{5}{t}_{0}^{\;}$
圓周運(yùn)動(dòng)有：${t}_{2}^{\;}=2{t}_{0}^{\;}$
得總時(shí)間：$t=（\sqrt{5}+2）{t}_{0}^{\;}≈4.25{t}_{0}^{\;}$
答：（1）求粒子在0～t₀時(shí)間內(nèi)的位移大小與極板間距h的比值$\frac{1}{5}$．
（2）求粒子在極板間做圓周運(yùn)動(dòng)的最小半徑${R}_{1}^{\;}$為$\frac{h}{5π}$與最大半徑${R}_{2}^{\;}$為$\frac{2h}{5π}$（用h表示）．
（3）粒子在板間運(yùn)動(dòng)的時(shí)間$4.25{t}_{0}^{\;}$（用t₀表示）．

點(diǎn)評(píng) 帶點(diǎn)粒子在復(fù)合場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)本質(zhì)是力學(xué)問題
1、帶電粒子在電場(chǎng)、磁場(chǎng)和重力場(chǎng)等共存的復(fù)合場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，其受力情況和運(yùn)動(dòng)圖景都比較復(fù)雜，但其本質(zhì)是力學(xué)問題，應(yīng)按力學(xué)的基本思路，運(yùn)用力學(xué)的基本規(guī)律研究和解決此類問題．
2、分析帶電粒子在復(fù)合場(chǎng)中的受力時(shí)，要注意各力的特點(diǎn)，如帶電粒子無(wú)論運(yùn)動(dòng)與否，在重力場(chǎng)中所受重力及在勻強(qiáng)電場(chǎng)中所受的電場(chǎng)力均為恒力，而帶電粒子在磁場(chǎng)中只有運(yùn)動(dòng) （且速度不與磁場(chǎng)平行）時(shí)才會(huì)受到洛侖茲力，力的大小隨速度大小而變，方向始終與速度垂直，故洛侖茲力對(duì)運(yùn)動(dòng)電荷只改變粒子運(yùn)動(dòng)的方向，不改變大�。�