Question

如下圖所示，一質(zhì)量M=2 kg的長(zhǎng)木板B靜止于光滑水平面上，B的右邊放有豎直擋板.現(xiàn)有一小物體A(可視為質(zhì)點(diǎn))質(zhì)量m=1 kg，以速度v₀=6 m/s從B的左端水平滑上B，已知A和B間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.2，B與豎直擋板的碰撞時(shí)間極短，且碰撞時(shí)無(wú)機(jī)械能損失.

(1)若B的右端距擋板s=4 m，要使A最終不脫離B，則木板B的長(zhǎng)度至少多長(zhǎng)？

(2)若B的右端距擋板s=0.5 m，要使A最終不脫離B，則木板B的長(zhǎng)度至少多長(zhǎng)？

Answer 1

解：(1)設(shè)A滑上B后達(dá)到共同速度前并未碰到擋板，則根據(jù)動(dòng)量守恒定律得它們的共同速度為v，有

mv₀=(M+m)v,解得v=2 m/s,

在這一過(guò)程中，B的位移為S_b由動(dòng)能定理：μmgs_b=Mv²解得s_b=2 m.

當(dāng)s=4 m時(shí)，A、B達(dá)到共同速度v=2 m/s后再勻速向前運(yùn)動(dòng)2 m碰到擋板，B碰到豎直擋板后，根據(jù)動(dòng)量守恒定律得A、B最后相對(duì)靜止時(shí)的速度為v′,則Mv-mv=(M+m)v′,

解得v′= m/s.

在這一過(guò)程中，A、B的相對(duì)位移為s₁,根據(jù)動(dòng)能定理，得

μmgs₁=mv₀²- (M+m)v′²,

解得s₁=8.67 m.

因此，A、B最終不脫離的木板最小長(zhǎng)度為8.67 m

(2)因B離豎直擋板的距離s=0.5 m＜2 m,所以碰到擋板時(shí)，A、B未達(dá)到相對(duì)靜止，此時(shí)B的速度為v_b由動(dòng)能定理

μmgs=Mv_b²解得v_b=1 m/s,

設(shè)此時(shí)A的速度為v_a,根據(jù)動(dòng)量守恒定律，得

mv₀=Mv_B+mv_A,解得v_a=4 m/s,

B碰撞擋板后，以原速率反彈，A、B最終達(dá)到向右的相同速度v,

根據(jù)動(dòng)量守恒定律得：mv_A-Mv_B=(M+m)v,解得v=m/s.

B再次碰到擋板后，以原速率反彈，A、B最終以相同的速度v′向左共同運(yùn)動(dòng)，根據(jù)動(dòng)量守恒定律，得

Mv-mv=(M+m)v′,

解得v′=m/s.

在這一過(guò)程中，A、B發(fā)生的相對(duì)位移s_b為：

μmgs_b=mv₀²- (M+m)v′²,解得s_b=8.96 m

因此，為使A不從B上脫落，B的最小長(zhǎng)度為8.96 m.