Question

2．某地區(qū)多發(fā)霧霾天氣，PM2.5濃度過高，為防控粉塵污染，某同學設計了一種除塵方案，用于清除帶電粉塵．模型簡化如圖所示，粉塵源從A點向水平虛線上方（豎直平面內(nèi)）各個方向均勻噴出粉塵微粒，每顆粉塵微粒速度大小均為v=10m/s，質量為m=5×10^-10kg，電荷量為q=+1×10^-7C，粉塵源正上方有一半徑R=0.5m的圓形邊界勻強磁場，磁場的磁感應強度方向垂直紙面向外且大小為B=0.1T的，磁場右側緊靠平行金屬極板MN、PQ，兩板間電壓恒為U₀，兩板相距d=1m，板長l=1m．不計粉塵重力及粉塵之間的相互作用，假設MP為磁場與電場的分界線．（已知cos37°=0.8，sin37°=0.6，若y=cosα，則α=arccosy） 求：
（1）微粒在磁場中的半徑r并判斷粒子出磁場的速度方向；
（2）若粉塵微粒100%被該裝置吸收，平行金屬極板MN、PQ間電壓至少多少？
（3）若U₀=0.9V，求收集效率．
（4）若兩極板間電壓在0～1.5V之間可調(diào)，求收集效率和電壓的關系．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)粒子在磁場中運動的半徑公式求出微粒在磁場中運動的半徑，根據(jù)幾何關系確定粒子出磁場時的速度方向．
（2）粉塵微粒進入電場做類平拋運動，結合水平方向和豎直方向上的運動規(guī)律，結合牛頓第二定律和運動學公式求出平行金屬極板MN、PQ間電壓的最小值．
（3）求出U₀=0.9V時y的值，根據(jù)幾何關系求出粉塵在A處與水平向左方向夾角，從而求出收集效率．
（4）根據(jù)第二問，當1V≤U≤1.5 V時，收集效率η=100%，求出0≤U＜1 V時y與U的表達式，根據(jù)幾何關系，求出收集效率和電壓的關系．

解答 解：（1）粉塵微粒在磁場中運動時，洛倫茲力提供向心力，設軌道半徑為r，則有qvB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$
r=$\frac{mv}{qB}$=$\frac{5×1{0}^{-10}×10}{1{0}^{-7}×0.1}$m=0.5 m
假設粉塵微粒從B點打出，軌道圓的圓心為O′，由r=R可知四邊形AOBO′為菱形，所以OA∥OB′，BO′一定是豎直的，速度方向與BO′垂直，因此速度方向水平向右
（2）粉塵微粒進入電場做類平拋運動，
水平方向有l(wèi)=vt
豎直方向有a=$\frac{qU}{md}$，y=$\frac{1}{2}$at²
y=$\frac{qUl2}{2mdv2}$ 把y≥d代入y=$\frac{qUl2}{2mdv2}$
代入數(shù)據(jù)解得U≥1 V
（3）當U=U₀=0.9 V時解得y=0.9 m，
假設該粉塵在A處與水平向左方向夾角α，則y=r+rcosα，解得α=37°
可知射到極板上的微粒占總數(shù)的百分比為η=$\frac{π-α}{π}×100%=79.4%$，
（4）1V≤U≤1.5 V時，收集效率η=100%
0≤U＜1 V時，
對于恰被吸收的粒子：y=$\frac{1}{2}a{t}^{2}=\frac{1}{2}\frac{qU{l}^{2}}{dm{v}^{2}}=U（m）$，
由y=r+rcosα，α=$arccos\frac{y-r}{r}$得，α=arccos（2U-1），
收集效率η=$\frac{π-α}{π}×100%=[1-\frac{1}{π}arccos（2U-1）]×100%$．
答：（1）微粒在磁場中的半徑為0.5m，速度方向水平向右．
（2）平行金屬極板MN、PQ間電壓至少為1V．
（3）收集效率為79.4%．
（4）收集效率和電壓的關系為η=$[1-\frac{1}{π}arccos（2U-1）]×100%$．

點評 本題是信息題，考查帶電粒子在電場和磁場中的運動，關鍵抓住臨界狀態(tài)，結合幾何關系綜合求解，難度較大．