Question

17．地球兩極的重力加速度為g₀，赤道處的重力加速度為g，地球自轉的周期為T，由于某種原因，假設地球自轉加快，赤道處的重力加速度變化了10%．求地球自轉加快后的周期．

Answer 1

分析 質量為m的物體在兩極所受地球的引力等于其所受的重力，在赤道的物體所受地球的引力等于其重力和向心力的矢量和，根據牛頓第二定律和萬有引力定律列式后聯立求解即可．

解答 解：物體在地球兩極時：$m{g}_{0}^{\;}=G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}$
赤道處：$G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}-mg=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}R$
假設地球自轉加快，隨地自轉的向心力增大，赤道處的重力加速度減小，為：
g′=（1-10%）g=0.9g
自轉加快后，有：$G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}-mg′=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{′2}}R$
聯立得：$\frac{{g}_{0}^{\;}-g}{{g}_{0}^{\;}-0.9g}=\frac{{T}_{\;}^{′2}}{{T}_{\;}^{2}}$
解得：$T′=\sqrt{\frac{{g}_{0}^{\;}-g}{{g}_{0}^{\;}-0.9g}}T$
答：地球自轉加快后的周期為$\sqrt{\frac{{g}_{0}^{\;}-g}{{g}_{0}^{\;}-0.9g}}T$．

點評 解決本題的關鍵是認識到在赤道處的重力實為地球對物體的萬有引力減去物體隨地球自轉的向心力，掌握力的關系是正確解題的前提．