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16.如圖所示,磁感應強度大小均為B的足夠大勻強磁場分為上下兩區(qū)域,邊界均沿水平方向,兩平行邊界間的距離為d.現有一帶電量為-q的粒子〔不計重力)以速度v從下邊界上的O點沿與邊界成30°角的方向斜向右上方射出,已知粒子的質量m=$\frac{2qBd}{v}$.求:

(1)粒子第一次回到下磁場邊界線時與O點間的距離;
(2)從O點射出開始計時,到粒子第n次進入下磁場區(qū)城所需時間.

分析 (1)根據洛倫茲力提供向心力,結合牛頓第二定律,求得軌道半徑,再結合運動軌跡,及幾何關系,即可求解;
(2)根據運動學公式,先求得從離開下面磁場到回到下面磁場的時間,再結合勻速圓周運動,求得回到下面磁場到離開下面磁場的時間,從而即可求解.

解答 解:(1)粒子在磁場中做勻速圓周運動,洛倫茲力提供向心力,根據牛頓第二定律,有:
qvB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$
解得:
r=$\frac{mv}{qB}$=$\frac{\frac{2qBd}{v}v}{qB}$=2d
畫出軌跡,如圖所示:

第一次回到下面磁場的點與O點的距離為:
x=($\frac34fwt4w{tan30°}$+rsin30°)×2=2($\sqrt{3}$+1)d
(2)從離開下面磁場到回到下面磁場
t1=$\frac{2d}{v}$×2+$\frac{\frac{πr}{3}}{v}$=$\frac{4d}{v}$+$\frac{2πd}{3v}$
回到下面磁場到離開下面磁場過程,粒子做勻速圓周運動,故:

時間為:t2=$\frac{\frac{3πr}{3}}{v}$=$\frac{10πd}{3v}$
故從第一次離開下面磁場到第n次回到下面磁場過程的時間為:
t=nt1+(n-1)t2=$\frac{4nd}{v}$(1+π-$\frac{π}{6n}$)
答:(1)粒子第一次回到下磁場邊界線時與O點間的距離2($\sqrt{3}$+1)d;
(2)從O點射出開始計時,到粒子第n次進入下磁場區(qū)城所需時間$\frac{4nd}{v}$(1+π-$\frac{π}{6n}$).

點評 考查牛頓第二定律與運動學公式的應用,掌握幾何關系,注意正確作出運動軌跡是解題的關鍵,并理解勻速圓周運動的周期公式.

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