Question

16．如圖所示，磁感應強度大小均為B的足夠大勻強磁場分為上下兩區(qū)域，邊界均沿水平方向，兩平行邊界間的距離為d．現有一帶電量為-q的粒子〔不計重力）以速度v從下邊界上的O點沿與邊界成30°角的方向斜向右上方射出，已知粒子的質量m=$\frac{2qBd}{v}$．求：

（1）粒子第一次回到下磁場邊界線時與O點間的距離；
（2）從O點射出開始計時，到粒子第n次進入下磁場區(qū)城所需時間．

Answer 1

分析 （1）根據洛倫茲力提供向心力，結合牛頓第二定律，求得軌道半徑，再結合運動軌跡，及幾何關系，即可求解；
（2）根據運動學公式，先求得從離開下面磁場到回到下面磁場的時間，再結合勻速圓周運動，求得回到下面磁場到離開下面磁場的時間，從而即可求解．

解答 解：（1）粒子在磁場中做勻速圓周運動，洛倫茲力提供向心力，根據牛頓第二定律，有：
qvB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$
解得：
r=$\frac{mv}{qB}$=$\frac{\frac{2qBd}{v}v}{qB}$=2d
畫出軌跡，如圖所示：

第一次回到下面磁場的點與O點的距離為：
x=（$\frac34fwt4w{tan30°}$+rsin30°）×2=2（$\sqrt{3}$+1）d
（2）從離開下面磁場到回到下面磁場
t₁=$\frac{2d}{v}$×2+$\frac{\frac{πr}{3}}{v}$=$\frac{4d}{v}$+$\frac{2πd}{3v}$
回到下面磁場到離開下面磁場過程，粒子做勻速圓周運動，故：

時間為：t₂=$\frac{\frac{3πr}{3}}{v}$=$\frac{10πd}{3v}$
故從第一次離開下面磁場到第n次回到下面磁場過程的時間為：
t=nt₁+（n-1）t₂=$\frac{4nd}{v}$（1+π-$\frac{π}{6n}$）
答：（1）粒子第一次回到下磁場邊界線時與O點間的距離2（$\sqrt{3}$+1）d；
（2）從O點射出開始計時，到粒子第n次進入下磁場區(qū)城所需時間$\frac{4nd}{v}$（1+π-$\frac{π}{6n}$）．

點評 考查牛頓第二定律與運動學公式的應用，掌握幾何關系，注意正確作出運動軌跡是解題的關鍵，并理解勻速圓周運動的周期公式．