Question

（25分）六個相同的電阻（阻值均為）連成一個電阻環(huán)，六個接點依次為1、2、3、4、5和6，如圖1所示�，F(xiàn)有五個完全相同的這樣的電阻環(huán)，分別稱為 、、┅。

現(xiàn)將的1、3、5三點分別與的2、4、6三點用導(dǎo)線連接，如圖2所示。然后將的1、3、5三點分別與的2、4、6三點用導(dǎo)線連接，┅ 依此類推。最后將的1、3、5三點分別連接到的2、4、6三點上。

1．證明全部接好后，在上的1、3兩點間的等效電阻為。

2．求全部接好后，在上的1、3兩點間的等效電阻。

Answer 1

解析：

解法一：

1．（1）電阻圖變形．

此題連好的線路的平面圖如圖1所示．

現(xiàn)將電阻環(huán)改畫成三角形，1、3、5三點為頂點，2、4、6三點為三邊中點，如圖2與圖3所示．整個連好的線路相當(dāng)于把的三個頂點分別接到的三個中點上，圖1變?yōu)閳D4．這樣第1問歸結(jié)為求圖4中最外層三角環(huán)任意兩頂點間的等效電阻。

   

（2）遞推公式．

為使圖形簡化，討論如何將接好的兩個電阻環(huán)化簡成為一個單環(huán)。由六個阻值為的電阻構(gòu)成一個三角環(huán)，將其頂點接在另一由六個阻值為的電阻構(gòu)成的三角環(huán)的中點上（如圖5所示）。

圖6是由六個阻值為的電阻構(gòu)成的三角環(huán)。若圖5頂點1、3間的電阻與圖6頂點l、3間的電阻阻值相等，我們稱圖6中的為等效單環(huán)電阻．

 

用符號“//”表示電阻的并聯(lián)，如

           

由圖5中的對稱性可知l、3兩頂點間的電阻等于圖7中1、0間的電阻的2倍，即

       

                                        （1）

同理，圖6中1、3兩頂點間的電阻為

                                 （2）

由（1）、（2）式得等效單環(huán)電阻為

                                        （3）

2. 第一問

現(xiàn)在考慮把、、、、按相反的次序，由內(nèi)向外依次連接的情況．首先將接在外面，求雙環(huán)的等效單環(huán)電阻〔即（3）式中的〕．這時．由（3）式得到為

            

其次，在雙環(huán)外面接上，這時．三環(huán)的等效單環(huán)電阻為

            

由此可得一般公式，環(huán)的等效單環(huán)電阻可由求出

                                        （4）

于是

               

 

           

由（2）式得出由一個環(huán)（）、兩個環(huán)（）直至五個環(huán)（）構(gòu)成的線路1、3點間的電阻為

               

               

               

               

               

答：所求的五個環(huán)的1與3間的等效電阻確為．證畢。

3. 第二問

根據(jù)五個組成的圓柱形網(wǎng)絡(luò)的對稱性，的l、3兩點等價于的2、4兩點．等價線路如圖8與圖9所示．設(shè)二圖等價，求圖9中的即可．

   

所以

答：所求值為。

 

解法二：

第一問

圖3可看做的接線圖，其一半如圖10所示，豎直粗線為一短路線．一個環(huán)（）構(gòu)成線路的1與0點間的阻值用表示，根據(jù)對稱性，。

當(dāng)接入后，由兩個環(huán)（類似圖5）構(gòu)成線路圖的一半如圖11所示．三個帶陰影的電阻與短路線圍成的三角形（）中的2與間的阻值就是圖10中1與0間的阻值。其等效電路如圖12所示．圖11（或圖12）中的l與0點間的阻值用表示．有

      

再將雙環(huán)接入，其一半如圖13所示，三個帶陰影的電阻與短路線圍成的三角形中含有六個電阻，其2與間的阻值就對應(yīng)為，參看圖12的等效電路，得

       

同理，得

              

 

由此得     

 

第二問

五個電阻環(huán)構(gòu)成線路后，最外層環(huán)（）上2點與4點間的等效電阻可借用圖12求得，將圖中換成，五個環(huán)構(gòu)成的線路中2與4間阻值可如下求得：

因

故