Question

2．2013年12月2日，“嫦娥三號(hào)”發(fā)射，經(jīng)過中途固定修正和近月制動(dòng)之后，“嫦娥三號(hào)”探測(cè)器進(jìn)入繞月的圓形軌道Ⅰ，如圖所示．12月12日衛(wèi)星成功變軌，進(jìn)入遠(yuǎn)月點(diǎn)P、近月點(diǎn)Q的橢圓形軌道Ⅱ，如圖所示．已知引力常量為G，月球的質(zhì)量為M，月球的半徑為R，“嫦娥三號(hào)”在軌道I上運(yùn)動(dòng)時(shí)的質(zhì)量為m，P、Q點(diǎn)距月球表面的高度分別為h₁、h₂．
（1）求“嫦娥三號(hào)”在圓形軌道I上運(yùn)動(dòng)的速度大�。�
（2）已知“嫦娥三號(hào)”與月心的距離為r時(shí)，引力勢(shì)能為E_p=-$\frac{GMm}{r}$（取無(wú)窮遠(yuǎn)處引力勢(shì)能為零），其中m為此時(shí)“嫦娥三號(hào)”的質(zhì)量．若“嫦娥三號(hào)”在軌道II上運(yùn)動(dòng)的過程中，動(dòng)能和引力勢(shì)能相互轉(zhuǎn)化，它們的總量保持不變．已知“嫦娥三號(hào)”經(jīng)過Q點(diǎn)的速度大小為v，請(qǐng)根據(jù)能量守恒定律求它經(jīng)過P點(diǎn)時(shí)的速度大小．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力$G\frac{Mm}{{{{（R+{h_1}）}^2}}}=m\frac{{{v_1}^2}}{{R+{h_1}}}$，化簡(jiǎn)可得嫦娥三號(hào)在軌道I上做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的速度．
（2）“嫦娥三號(hào)”在軌道II上運(yùn)動(dòng)的過程中機(jī)械能守恒定律，有$-\frac{GMm'}{{R+{h_1}}}+\frac{1}{2}m'{v_P}{'^2}=-\frac{GMm'}{{R+{h_2}}}+\frac{1}{2}m'{v^2}$，化簡(jiǎn)可得Q點(diǎn)的速度．

解答 解：（1）“嫦娥三號(hào)”在軌道I上做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力有：
$G\frac{Mm}{{{{（R+{h_1}）}^2}}}=m\frac{{{v_1}^2}}{{R+{h_1}}}$
解得：${v_1}=\sqrt{\frac{GM}{{R+{h_1}}}}$
（2）“嫦娥三號(hào)”在軌道II上運(yùn)動(dòng)的過程中，由機(jī)械能守恒定律可知，P點(diǎn)的機(jī)械能等于Q點(diǎn)的機(jī)械能，則有：
$-\frac{GMm'}{{R+{h_1}}}+\frac{1}{2}m'{v_P}{'^2}=-\frac{GMm'}{{R+{h_2}}}+\frac{1}{2}m'{v^2}$
解得：${v_P}'=\sqrt{{v^2}-\frac{2GM}{{R+{h_2}}}+\frac{2GM}{{R+{h_1}}}}$
答：（1）“嫦娥三號(hào)”在圓形軌道I上運(yùn)動(dòng)的速度大小是$\sqrt{\frac{GM}{R+{h}_{1}}}$；
（2）它經(jīng)過P點(diǎn)時(shí)的速度大小是$\sqrt{{v}^{2}-\frac{2GM}{R+{h}_{2}}+\frac{2GM}{R+{h}_{1}}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題涉及到多個(gè)知識(shí)點(diǎn)，既要用到萬(wàn)有引力提供向心力這個(gè)關(guān)系，還要用到機(jī)械能守恒，運(yùn)算復(fù)雜，計(jì)算時(shí)要小心謹(jǐn)慎．