Question

15．隨著現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)的飛速發(fā)展，廣寒宮中的嫦娥不再寂寞，古老的月球即將留下中華兒女的足跡．航天飛機作為能往返于地球與太空，可以重復(fù)使用的太空飛行器，備受人們的喜愛．若你作為一名宇航員現(xiàn)欲乘航天飛機對在距月球表面高h處的圓軌道上運行的月球衛(wèi)星進行維修，經(jīng)測量發(fā)現(xiàn)衛(wèi)星繞月飛行的周期為T，已知月球半徑為R，引力常量為G，忽略月球自轉(zhuǎn)的影響．求
（1）維修衛(wèi)星時航天飛機的速度v應(yīng)為多大？
（2）月球的質(zhì)量M．
（3）月球表面的重力加速度g．

Answer 1

分析 （1）已知衛(wèi)星的軌道半徑與周期，應(yīng)用線速度與周期的關(guān)系可以求出線速度．
（2）萬有引力提供衛(wèi)星做圓周運動的向心力，應(yīng)用牛頓第二定律可以求出月球質(zhì)量．
（3）月球表面的物體受到的萬有引力等于重力，據(jù)此求出月球表面的重力加速度．

解答 解：（1）維修衛(wèi)星時航天飛機的速度：v=$\frac{2π（R+h）}{T}$；
（2）由牛頓第二定律得：G$\frac{Mm}{（R+h）^{2}}$=m$（\frac{2π}{T}）^{2}$（R+h），
解得月球質(zhì)量：M=$\frac{4{π}^{2}（R+h）^{3}}{G{T}^{2}}$；
（3）月球表面的物體所受萬有引力等于重力，即：G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$=mg，
解得重力加速度為：g=$\frac{4{π}^{2}（R+h）^{3}}{{R}^{2}{T}^{2}}$；
答：（1）維修衛(wèi)星時航天飛機的速度v應(yīng)為$\frac{2π（R+h）}{T}$；
（2）月球的質(zhì)量M為$\frac{4{π}^{2}（R+h）^{3}}{G{T}^{2}}$．
（3）月球表面的重力加速度g為$\frac{4{π}^{2}（R+h）^{3}}{{R}^{2}{T}^{2}}$．

點評 本題考查了萬有引力定律的應(yīng)用，知道萬有引力提供向心力、萬有引力等于重力是解題的關(guān)鍵，應(yīng)用萬有引力公式與牛頓第二定律可以解題．