Question

11．月球半徑約為地球半徑的$\frac{1}{4}$，月球表面重力加速度為地球表面重力加速度的$\frac{1}{6}$，則（　�。�

• A． 月球平均密度約為地球平均密度的1.5倍
• B． 環(huán)月衛(wèi)星的最小周期大于環(huán)地衛(wèi)星的最小周期
• C． 環(huán)月衛(wèi)星的第一宇宙速度大于環(huán)地衛(wèi)星的第一宇宙速度
• D． 地球質量約為月球質量的16倍

Answer 1

分析 由密度定義式可得密度之比．
由第一宇宙速度可得最小周期關系．由第一宇宙速度對應衛(wèi)星半徑為星球半徑可得第一宇宙速度關系．
由萬有引力等于重力可得地球和月球質量之比．

解答 解：A、由密度定義式可得：$ρ=\frac{M}{V}=\frac{\frac{g{R}^{2}}{G}}{\frac{4π{R}^{3}}{3}}=\frac{3g}{4πRG}$，可知地球和月球密度之比為：$ρ：ρ′=\frac{1}{1}：\frac{\frac{1}{6}}{\frac{1}{4}}=1.5$，故A正確．
B、速度為第一宇宙速度時，周期最小，可得最小周期為：$T=\frac{2πR}{v}=2π\(zhòng)sqrt{\frac{R}{g}}$，可知環(huán)地和環(huán)月最小周期之比為：$T：T′=\sqrt{\frac{1}{1}}：\sqrt{\frac{\frac{1}{4}}{\frac{1}{6}}}=\sqrt{2}：\sqrt{3}$，環(huán)月衛(wèi)星的最小周期大于環(huán)地衛(wèi)星的最小周期，故B正確．
C、由$mg=m\frac{{v}^{2}}{R}$，可得第一宇宙速度為：$v=\sqrt{gR}$，可知環(huán)月衛(wèi)星的第一宇宙速度小于環(huán)地衛(wèi)星的第一宇宙速度，故C錯誤．
D、由萬有引力等于重力可得：$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=mg$，解得：$M=\frac{g{R}^{2}}{G}$，可知地球和月球質量之比為：M：M′=$1×{1}^{2}：\frac{1}{6}×（\frac{1}{4}）^{2}=96：1$；故D錯誤；
故選：AB

點評 本題關鍵是用好萬有引力提供向心力的各個表達式，能熟練應用圓周運動公式是解決萬有引力問題的關鍵．