Question

如圖，水平地面上方有一底部帶有小孔的絕緣彈性豎直檔板，板高h=9m，與板等高處有一水平放置的籃筐，筐口的中心離擋板s=3m．板的左側以及板上端與筐口的連線上方存在勻強磁場和勻強電場，磁場方向垂直紙面向里，磁感應強度B=1T；質量、電量、直徑略小于小孔寬度的帶電小球（視為質點），以某一速度水平射入場中做勻速圓周運動，若與檔板相碰就以原速率彈回，且碰撞時間不計，碰撞時電量不變，小球最后都能從筐口的中心處落入筐中，，求：

（1）電場強度的大小與方向；

    （2）小球運動的最大速率；

    （3）小球運動的最長時間。

Answer 1

解：（1）因小球能做勻速圓周運動，所以有：

    　　┄┄┄┄┄┄┄┄┄３分

    方向豎直向下　　　┄┄┄┄┄┄┄┄┄１分

（2）洛侖茲力提供向心力有：    且 ┄┄┄┄┄2分

           得：        ┄┄┄┄┄1分

小球不與擋板相碰直接飛入框中，其運動半徑最大，如圖1所示，由幾何知識可得：

      　┄┄┄┄┄2分

    求得：　┄┄┄┄┄1分

5m/s┄┄┄┄┄1分

（3）因為速度方向與半徑方向垂直，圓心必在檔板的豎直線上 

設小球與檔板碰撞n次，其最大半徑為

        要擊中目標必有：         

   

        n只能取0 ,  1  ┄┄┄┄┄   2分

        當n=0，即為（2）問中的解

        當n=1，時可得：

        ┄┄┄┄┄2分

解得：R₁=3m， R₂=3.75m  ┄┄┄┄2分

R₁=3m時半徑最小，其運動軌跡如圖2中的軌跡①所示，其速度為：

，3m/s  ┄┄┄┄┄1分

  即為所求的最小速度。

（其它解法同樣給分，再提供兩種解法）

（3）因為速度方向與半徑方向垂直，圓心必在檔板的豎直線上 

設小球與檔板碰撞n次

      代入得

  

使R有解必須有     代入得

               可得           

        n只能取0，1  （以下同上）

（3）要求最小速度，需求最小半徑，由幾何關系得：

   或 ┄3分

整理得：

此方程R有解，則有：

得   所以：   或（n為奇數(shù)）

（以下同上）