Question

如圖所示，真空中有兩水平放置的平行金屬板C、D，上面分別開有正對的小孔O₁和O₂，金屬板C、D接在正弦交流電源上，兩板間的電壓u_CD隨時(shí)間t變化的圖線如圖所示．t=0時(shí)刻開始，從D板小孔O₁處連續(xù)不斷飄入質(zhì)量為 m=3.2×10^-25kg，電荷量為 q=1.6×10^-19C的帶正電的粒子（可認(rèn)為飄入速度為零）．在C板外側(cè)有以CMNE為邊界的長方形勻強(qiáng)磁場，MN與C金屬板平行，相距d=10cm，O₂C的長度L=15cm，勻強(qiáng)磁場磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小為B=0.10T，方向垂直于紙面向里，粒子的重力及粒子間相互作用力忽略不計(jì)．平行金屬板C、D之間的距離足夠小，粒子在兩板間的運(yùn)動(dòng)時(shí)間可忽略不計(jì)．試求：
（1）帶電粒子經(jīng)小孔O₂進(jìn)入磁場后，飛出該磁場邊界CM的最小速度為多大？
（2）從0到0.06s末時(shí)間內(nèi)哪些時(shí)間段飄入小孔O₁的粒子能穿過電場并飛出磁場邊界MN？
（3）在磁場邊界CMNE上，有粒子射出的長度范圍為多長．

Answer 1

（1）設(shè)粒子飛出該磁場邊界CM的最小速度為v₀，粒子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，則有
          qv₀B=m

v 20

r0

        粒子恰好飛出磁場時(shí)，r₀=d
       解得最小速度v₀=

qBd

m

=5×10³m/s
     （2）因?yàn)榱Ｗ釉趦砂彘g的運(yùn)動(dòng)時(shí)間可忽略不計(jì)，所以粒子通過電場的過程中認(rèn)為電壓不變．
          設(shè)恰好飛出磁場邊界MN的粒子在電場中運(yùn)動(dòng)時(shí)板間電壓為U₀，
         根據(jù)動(dòng)能定理，得qU₀=

1

2

m

v

20

，U₀=

m v 20

2q

=25V
         根據(jù)電壓圖象可知，U_CD=50sin50πtV，得到U₀=25V時(shí)，對應(yīng)時(shí)刻分別為

1

300

s和

1

60

s．
         故從0到0.06s末時(shí)間內(nèi)，飛出磁場邊界MN時(shí)間為

1

300

s∽

1

60

s．
   （3）設(shè)粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的最大速度為vm，對應(yīng)的最大半徑為Rm，
        則qU_m=

1

2

m

v

2m

，qv_mB=m

v 2m

Rm

粒子飛出磁場邊界時(shí)相對小孔向左偏移的最小距離為
        x=R_m-

R 2m -d2

代入數(shù)據(jù)，解得x=0.0414m
則在磁場邊界CMNE上，有粒子射出的長度范圍為
△x=d-x=0.0586m
答：（1）飛出該磁場邊界CM的最小速度為5×10³m/s．
    （2）從0到0.06s末時(shí)間內(nèi)，在

1

300

s∽

1

60

s時(shí)間段飄入小孔O₁的粒子能穿過電場并飛出磁場邊界MN．
    （3）在磁場邊界CMNE上，有粒子射出的長度范圍為0.0586m．