Question

（2011?江蘇）某種加速器的理想模型如圖1所示：兩塊相距很近的平行小極板中間各開有一小孔a、b，兩極板間電壓u_ab的變化圖象如圖2所示，電壓的最大值為U₀、周期為T₀，在兩極板外有垂直紙面向里的勻強磁場．若將一質(zhì)量為m₀、電荷量為q的帶正電的粒子從板內(nèi)a孔處靜止釋放，經(jīng)電場加速后進入磁場，在磁場中運動時間T₀后恰能再次從a 孔進入電場加速．現(xiàn)該粒子的質(zhì)量增加了

1

100

m0．（粒子在兩極板間的運動時間不計，兩極板外無電場，不考慮粒子所受的重力）
（1）若在t=0時刻將該粒子從板內(nèi)a孔處靜止釋放，求其第二次加速后從b孔射出時的動能；
（2）現(xiàn)在利用一根長為L的磁屏蔽管（磁屏蔽管置于磁場中時管內(nèi)無磁場，忽略其對管外磁場的影響），使圖1中實線軌跡（圓心為O）上運動的粒子從a孔正下方相距L處的c孔水平射出，請在答題卡圖上的相應(yīng)位置處畫出磁屏蔽管；
（3）若將電壓u_ab的頻率提高為原來的2倍，該粒子應(yīng)何時由板內(nèi)a孔處靜止開始加速，才能經(jīng)多次加速后獲得最大動能？最大動能是多少？

Answer 1

分析：（1）求第二次加速后從b孔射出時的動能只需知道加速時所對應(yīng)的電壓，故圖2求電壓即可．
（2）加入屏蔽管后粒子在屏蔽管中做勻速直線運動，離開屏蔽管后運動軌跡與原來的運動軌跡相似，只是向下平移了l．
（3）從圖象可以看出，時間每改變△t=

T0

100

（圖象中為1），電壓改變?yōu)?span id="nz8cgcj" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">

2

25

U0（圖象中為4），
所以圖象中電壓分別為50，46，42，38，…10，6，2，共13個，
設(shè)某時刻t，u=U₀時被加速，此時刻可表示為

T0

2

?N，靜止開始加速的時刻t₁為t1=

T0

2

?N-n×

101T0

100

，其中n=12，將n=12代入得t1=

T0

2

?N-

1212T0

100

，因為t1＜

T0

2

，在u＞0時，粒子被加速，則最多連續(xù)被加速的次數(shù)：N=

T0 4

△T

，
所以只能取N=25，解得t1=

19

25

T0，由于電壓的周期為

T0

2

，所以t=

T0

2

n+

19

25

T0（n=0，1，2，3…）
故粒子由靜止開始被加速的時刻t=(

n

2

+

19

50

)T0（n=0，1，2，…）
故加速時的電壓分別

23

25

U0，

21

25

U0，

19

25

U0…

5

25

U0，

3

25

U0，

1

25

U0，
加速電壓做的總功，即動能的最大值，故粒子的最大動能 Ekm=2×(

1

25

+

3

25

+…

23

25

)qU0+qU0
解得 Ekm=

313

25

qU0．

解答：解：（1）質(zhì)量為m₀的粒子在磁場中作勻速圓周運動Bqv=

mv2

r

，T0=

2πr

v

則T0=

2πm0

qB

當(dāng)粒子的質(zhì)量增加了

1

100

m₀，其周期增加△T=

1

100

T₀
根據(jù)題圖2可知，粒子第一次的加速電壓u₁=U₀
經(jīng)過

101T0

100

第二次加速，第2次加速電壓u₂，如圖2
在三角形中，

u2

U0

=

T0 4 - T0 100

T0 4

=

24

25

，
所以粒子第二次的加速電壓u2=

24

25

U0
粒子射出時的動能 E_k2=qu₁+qu₂
解得Ek2=

49

25

qU0
（2）因為磁屏蔽管使粒子勻速運動至以下L處，出管后仍然做圓周運動，可到C點水平射出．磁屏蔽管的位置如圖1所示．粒子運動的軌跡如圖3．
（3）如圖4（用Excel作圖）設(shè)T₀=100，U₀=50，得到在四分之一周期內(nèi)的電壓隨時間變化的圖象
從圖象可以看出，時間每改變△t=

T0

100

（圖象中為1），電壓改變?yōu)?span id="w2f1usp" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">

2

25

U0（圖象中為4），
所以圖象中電壓分別為50，46，42，38，…10，6，2，共13個，
設(shè)某時刻t，u=U₀時被加速，此時刻可表示為

T0

2

?N，
靜止開始加速的時刻t₁為t1=

T0

2

?N-n×

101T0

100

，其中n=12，將n=12代入得t1=

T0

2

?N-

1212T0

100

，
因為t1＜

T0

2

，在u＞0時，粒子被加速，則最多連續(xù)被加速的次數(shù)：N=

T0 4

△T

，得N=25．
所以只能取N=25，解得t1=

19

25

T0，由于電壓的周期為

T0

2

，所以t=

T0

2

n+

19

25

T0（n=0，1，2，3…）
故粒子由靜止開始被加速的時刻t=(

n

2

+

19

50

)T0（n=0，1，2，…）
故加速時的電壓分別

23

25

U0，

21

25

U0，

19

25

U0…

5

25

U0，

3

25

U0，

1

25

U0，
加速電壓做的總功，即動能的最大值，故粒子的最大動能 Ekm=2×(

1

25

+

3

25

+…

23

25

)qU0+qU0
解得 Ekm=

313

25

qU0．

點評：本題考查帶電粒子在磁場中的圓周運動和在電場中的加速運動以及用數(shù)學(xué)解決物理問題的能力．關(guān)鍵是判斷怎樣才能得到最大動能即何時加速，加速電壓多大．