Question

7．2013年12月2日1時(shí)30分00.344秒，“嫦娥三號(hào)”從西昌衛(wèi)星發(fā)射中心成功發(fā)射．該衛(wèi)星在環(huán)月圓軌道繞行n圈所用的時(shí)間為t；月球半徑為R₀，月球表面處重力加速度為g₀．（不計(jì)地球及月球自轉(zhuǎn)的影響）
（1）請(qǐng)推導(dǎo)出“嫦娥三號(hào)”衛(wèi)星離月球表面高度的表達(dá)式；
（2）地球和月球的半徑之比為$\frac{R}{{R}_{0}}$=4，表面重力加速度之比為$\frac{g}{{g}_{0}}$=6，若地球和月球均可視為質(zhì)量分布均勻球體，試求地球和月球的密度之比．

Answer 1

分析 （1）“嫦娥三號(hào)”星繞月球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力列出等式．
忽略星球自轉(zhuǎn)的影響，根據(jù)萬(wàn)有引力等于重力列出等式求解．
（2）根據(jù)密度的公式和已知量表示出密度進(jìn)行之比．

解答 解：（1）由題意知，“嫦娥二號(hào)”衛(wèi)星的周期為T=$\frac{t}{n}$
設(shè)衛(wèi)星離月球表面的高度為h，由萬(wàn)有引力提供向心力得：
$\frac{GMm}{{{（R}_{0}+h）}^{2}}$=m（R₀+h）（$\frac{2π}{T}$）²
根據(jù)重力等于萬(wàn)有引力，
$\frac{GMm′}{{R}_{0}^{2}}$=m′g₀．
聯(lián)立解得：h=$\root{3}{\frac{{{{g}_{0}R}_{0}^{2}t}^{2}}{{{4π}^{2}n}^{2}}}$-R₀
（2）設(shè)星球的密度為ρ，由G$\frac{Mm′}{R2}$=m′g
得GM=gR²
ρ=$\frac{M}{V}$
聯(lián)立解得：ρ=$\frac{3g}{4GπR}$
設(shè)地球、月球的密度分別為ρ₀、ρ₁，則：
$\frac{{ρ}_{0}}{{ρ}_{1}}$=$\frac{{g•R}_{0}}{{g}_{0}•R}$
將$\frac{R}{{R}_{0}}$=4，$\frac{g}{{g}_{0}}$=6代入上式，
解得：$\frac{{ρ}_{0}}{{ρ}_{1}}$=$\frac{3}{2}$
（1）“嫦娥三號(hào)”衛(wèi)星離月球表面高度的表達(dá)式是h=$\root{3}{\frac{{{{g}_{0}R}_{0}^{2}t}^{2}}{{{4π}^{2}n}^{2}}}$-R₀；
（2）地球和月球的密度之比是$\frac{3}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查應(yīng)用物理知識(shí)分析研究科技成果的能力，基本原理：建立模型，運(yùn)用萬(wàn)有引力等于向心力研究．
向心力的公式選取要根據(jù)題目提供的已知物理量或所求解的物理量選取應(yīng)用．