Question

一質量為m的質點，系于長為L的輕繩的一端，繩的另一端固定在空間的O點，假定繩是不可伸長、柔軟目無彈性的．今把質點從O點的正上方離O點的距離為

8

9

L的O₁點以水平速度V₀拋出，質點運動到與O點同一水平線時，輕繩剛好伸直，如圖所示．試求；
（1）輕繩剛好伸直時，質點的速度：
（2）當質點到達O點的正下方時，繩對質點的拉力．

Answer 1

分析：質點的運動可分為三個過程：第一過程：質點做平拋運動．設輕繩剛好伸直時，質點的速度為v，該過程中重力做功；第二過程：繩繃直過程．繩繃直時，繩剛好水平，如圖所示，由于繩不可伸長，故繩繃直時，v₀損失，質點僅有速度v_y．第三過程：小球在豎直平面內做圓周運動．針對各個過程，列出相應的公式即可求解．

解答：解：（1）質點的運動可分為三個過程：
第一過程：質點做平拋運動．設輕繩剛好伸直時，質點的速度為v，由動能定理得：
mg?

8

9

L=

1

2

mv2-

1

2

m

v

2 0

                   
解得：v=

v 2 2 + 16 9 gL

                               
（2）第二過程：繩繃直過程．繩繃直時，繩剛好水平，如圖所示，由于繩不可伸長，故繩繃直時，v₀損失，質點僅有速度v_y．
vy=

2h g

=

2× 8 9 L g

=

4

3

gL

    
第三過程：小球在豎直平面內做圓周運動．設質點到達O點正下方時，速度為v₁，根據機械能守恒守律有：

1

2

m

v

2 y

+mgL=

1

2

m

v

2 1

        
設此時繩對質點的拉力為T，則：T-mg=m

v 2 1

L

聯立以上方程，代入數據解得：T=

43

9

mg
答：（1）輕繩剛好伸直時，質點的速度為v=

v 2 2 + 16 9 gL

；
（2）當質點到達O點的正下方時，繩對質點的拉力為T=

43

9

mg．

點評：本題關鍵是將小球的運動分為三個過程進行分析討論，平拋運動過程、突然繃緊的瞬時過程和變速圓周運動過程；然后根據對各段運用平拋運動位移公式、速度分解法則、機械能守恒定律和向心力公式列式求解．