Question

（附加題）如圖所示，輕質(zhì)長繩水平地跨在相距為2L的兩個(gè)小定滑輪A、B上，質(zhì)量為m的物塊懸掛在繩上O點(diǎn)，O與A、B兩滑輪的距離相等．在輕繩兩端C、D分別施加豎直向下的恒力F=mg．先托住物塊，使繩處于水平拉直狀態(tài)，由靜止釋放物塊，在物塊下落過程中，保持C、D兩端的拉力F不變．
（1）當(dāng)物塊下落距離h為多大時(shí)，物塊的加速度為零？
（2）在物塊下落上述距離的過程中，克服C端恒力F做功W為多少？
（3）求物塊下落過程中的最大速度Vm和最大距離H？

Answer 1

（1）當(dāng)物塊所受的合外力為零時(shí)，加速度為零，此時(shí)物塊下降距離為h．因?yàn)镕恒定，所以兩繩對(duì)物塊拉力大小分別為F，兩繩與豎直方向夾角均為θ，由平衡條件知：
2Fcosθ=mg2θ=120°，所以θ=60°，
由圖知：h=Ltan30°=

3

3

L

  ①
（2）物塊下落h時(shí)，繩的C、D端均上升h′由幾何關(guān)系可得：h′=

l2+h2

-L  ②
克服C端恒力F做的功為：W=Fh′③
由①②③式聯(lián)立解得：W=（

2 3

3

-1）mgL
（3）在物塊下落過程中，共有三個(gè)力對(duì)物塊做功．重力做正功，兩端繩子對(duì)物塊的拉力做負(fù)功．兩端繩子拉力做的功就等于作用在C、D端的恒力F所做的功．因?yàn)槲飰K下降距離h時(shí)動(dòng)能最大．由動(dòng)能定理得：mgh-2W=

1

2

m

v

2m

  ④
將①②③式代入④式解得：v_m=

2(2- 3 )gl

當(dāng)物塊速度減小為零時(shí)，物塊下落距離達(dá)到最大值H，繩C、D上升的距離為H’．由動(dòng)能定理得：
mgH-2mgH′=0，又H′=

H2+l2

-L，
聯(lián)立解得：H=

4

3

l．
答：（1）當(dāng)物塊下落距離h為

3

3

時(shí)，物塊的加速度為零．
（2）在物塊下落上述距離的過程中，克服C端恒力F做功W為（

2 3

3

-1）mgL．
（3）物塊下落過程中的最大速度v_m為

2(2- 3 )gl

，最大距離H為

4

3

l．