Question

3．某一金屬細(xì)導(dǎo)線的橫截面積為S、電阻率為ρ，將此細(xì)導(dǎo)線彎曲成半徑為r的導(dǎo)體圓環(huán)，細(xì)導(dǎo)線的直徑遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于圓環(huán)的半徑r．將此導(dǎo)體圓環(huán)水平地固定，在導(dǎo)體圓環(huán)的內(nèi)部存在豎直向上的勻強(qiáng)磁場，如圖甲所示，磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小隨時間的變化關(guān)系為B=kt（k＞0且為常量）．該變化的磁場會產(chǎn)生渦旋電場，該渦旋電場存在于磁場內(nèi)外的廣闊空間中，其電場線是在水平面內(nèi)的一系列沿順時針方向的同心圓（從上向下看），圓心與磁場區(qū)域的中心重合，如圖乙所示．該渦旋電場會趨使上述金屬圓環(huán)內(nèi)的自由電子定向移動，形成電流．在半徑為r的圓周上，渦旋電場的電場強(qiáng)度大小E_渦處處相等，并且可以用E_渦=$\frac{ε}{2πr}$計(jì)算，其中ε為由于磁場變化在半徑為r的導(dǎo)體圓環(huán)中產(chǎn)生的感生電動勢．渦旋電場力與電場強(qiáng)度的關(guān)系和靜電力與電場強(qiáng)度的關(guān)系相同．
經(jīng)典物理學(xué)認(rèn)為，金屬的電阻源于定向運(yùn)動的自由電子和金屬離子（即金屬原子失去電子后的剩余部分）的碰撞．假設(shè)電子與金屬離子碰撞后其定向運(yùn)動的速度立刻減為零，之后再次被渦旋電場加速，再次碰撞減速為零，…，依此類推；所有電子與金屬離子碰撞的時間間隔都為τ，電子的質(zhì)量為m、電荷量為-e．忽略電子運(yùn)動產(chǎn)生的磁場、電子減速過程中的電磁輻射以及電子熱運(yùn)動的影響，不考慮相對論效應(yīng)．
（1）根據(jù)焦耳定律求在τ時間內(nèi)導(dǎo)體圓環(huán)內(nèi)產(chǎn)生的焦耳熱的大小；
（2）求單個電子在與金屬離子碰撞過程中損失的動能；
（3）設(shè)金屬細(xì)導(dǎo)線單位體積內(nèi)的自由電子數(shù)為n，在題干中的情景和模型的基礎(chǔ)上推導(dǎo)金屬細(xì)導(dǎo)線的電阻率ρ的表達(dá)式（結(jié)果用n、e、τ、m表示）．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律，結(jié)合閉合電路歐姆定律，及焦耳定律即可求解；
（2）根據(jù)渦旋電場表達(dá)式，求得電子受到電場力，再依據(jù)牛頓第二定律，與運(yùn)動學(xué)公式，即可求解；
（3）先求出在τ時間內(nèi)，導(dǎo)體中電子損失的總動能，再根據(jù)能量守恒定律，即可求解．

解答 解：（1）導(dǎo)體圓環(huán)內(nèi)的磁通量發(fā)生變化，將產(chǎn)生感生電動勢，根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律，感生電動勢的大小為：
ε=$\frac{△ϕ}{△t}=\frac{△（BS）}{△t}=S\frac{△B}{△t}=π{r^2}$k
根據(jù)電阻定律，導(dǎo)體圓環(huán)的電阻為：R=ρ$\frac{2πr}{S}$
導(dǎo)體圓環(huán)內(nèi)感生電流的大小為：I=$\frac{ε}{R}=\frac{krS}{2ρ}$
根據(jù)焦耳定律，在τ時間內(nèi)，導(dǎo)體圓環(huán)內(nèi)產(chǎn)生的焦耳熱為：Q=I²Rτ
聯(lián)立以上各式，解得：Q=I²Rτ=$\frac{{πSτ{k^2}{r^3}}}{2ρ}$
（2）根據(jù)題意知，由于磁場變化將在導(dǎo)體圓環(huán)中產(chǎn)生的渦旋電場，該電場的電場強(qiáng)度大小為：E=$\frac{ε}{2πr}=\frac{kr}{2}$
電子在該電場中受到電場力的作用，電場力的大小為：F=Ee=$\frac{ker}{2}$
電場力的方向與導(dǎo)線相切，即與速度方向相同，電子將會被加速，加速度大小為：a=$\frac{F}{m}=\frac{kre}{2m}$
經(jīng)過時間τ，電子的速度達(dá)到最大，其值為：v_m=aτ=$\frac{kreτ}{2m}$
電子此時有最大的動能，該動能即為碰撞過程中損失的動能，其值為：E_km=$\frac{1}{2}m{v_m}^2=\frac{{{k^2}{r^2}{e^2}{τ^2}}}{8m}$
（3）從微觀上看，導(dǎo)體中共有電子數(shù)為：N=n•2πrS
所以，在τ時間內(nèi)，導(dǎo)體中電子損失的總動能為：E_k=NE_km
從宏觀上看，在τ時間內(nèi)，導(dǎo)體產(chǎn)生的焦耳熱為第（1）中求得的Q，電子損失的動能表現(xiàn)為宏觀上導(dǎo)體發(fā)熱，根據(jù)能量守恒定律得E_k=Q
聯(lián)立以上各式，解得：ρ=$\frac{2m}{{n{e^2}τ}}$
答：（1）在τ時間內(nèi)導(dǎo)體圓環(huán)內(nèi)產(chǎn)生的焦耳熱的大小$\frac{{πSτ{k^2}{r^3}}}{2ρ}$；
（2）單個電子在與金屬離子碰撞過程中損失的動能$\frac{{k}^{2}{r}^{2}{e}^{2}{τ}^{2}}{8m}$；
（3）金屬細(xì)導(dǎo)線的電阻率ρ的表達(dá)式$\frac{2m}{{n{e^2}τ}}$．

點(diǎn)評 考查法拉第電磁感應(yīng)定律的應(yīng)用，掌握閉合電路歐姆定律與焦耳定律，及能量守恒定律的內(nèi)容，注意符號之間的運(yùn)算正確性，及物理模型的架構(gòu)與物理規(guī)律的正確選用是解題的關(guān)鍵．