Question

15．如圖所示，質量相同的兩顆衛(wèi)星a、b繞地球做勻速圓周運動，其中b是地球的同步衛(wèi)星，a、b的軌道半徑間的關系為r_a³：r_b³=4：9，此時a、b恰好相距最近，且線速度方向相同；已知地球質量為M，地球自轉周期為T，萬有引力常量為G，則（　　）

• A． 這兩顆衛(wèi)星的發(fā)射速度均大于7.9km/s且小于11.2km/s
• B． a、b的線速度大小之比為v_a：v_b=2：3
• C． 衛(wèi)星a的機械能小于衛(wèi)星b的機械能
• D． 衛(wèi)星a和b下一次相距最近還需經過t=2T

Answer 1

分析 第一宇宙速度7.9km/s是指在地球上發(fā)射的物體繞地球飛行作圓周運動所需的最小初始速度，第二宇宙速度11.2km/s是物體掙脫地球引力束縛的最小發(fā)射速度；衛(wèi)星從低軌道到高軌道需要克服引力做較多的功；衛(wèi)星受到的萬有引力提供向心力，根據牛頓第二定律列式分析線速度關系和周期關系．

解答 解：A、衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運動，7.9km/s是指在地球附近發(fā)射的飛行器繞地球飛行所需的最小初始速度，11.2km/s是物體掙脫地球引力束縛的最小發(fā)射速度．所以這兩顆衛(wèi)星的發(fā)射速度均大于7.9km/s且小于11.2km/s，故A正確；
B、對于衛(wèi)星，根據牛頓第二定律，有：$G\frac{Mm}{r^2}=m\frac{v^2}{r}$
解得：$v=\sqrt{\frac{GM}{r}}$
故$\frac{v_a}{v_b}=\frac{{\sqrt{\frac{GM}{r_a}}}}{{\sqrt{\frac{GM}{r_b}}}}=\root{3}{{\frac{3}{2}}}$
故B錯誤；
C、衛(wèi)星從低軌道到高軌道需要克服引力做較多的功，衛(wèi)星a、b質量相同，所以衛(wèi)星b的機械能大于衛(wèi)星a的機械能，故C正確；
D、衛(wèi)星做勻速圓周運動，根據牛頓第二定律，有：
$G\frac{Mm}{r^2}=m\frac{{4{π^2}}}{T^2}r$
解得：$T=2π\(zhòng)sqrt{\frac{r^3}{GM}}$
故$\frac{T_a}{T_b}=\frac{{2π\(zhòng)sqrt{\frac{{{r_a}^3}}{GM}}}}{{2π\(zhòng)sqrt{\frac{{{r_b}^3}}{GM}}}}=\frac{2}{3}$
由于T_b=T，故Ta=$\frac{2}{3}T$；
衛(wèi)星a和b兩次相距最近過程中，衛(wèi)星a多轉動一圈，故：
$2π=\frac{2π}{T_a}t-\frac{2π}{T_b}t$
解得：
$t=\frac{{{T_a}{T_b}}}{{{T_b}-{T_a}}}=2T$
故D正確；
故選：ACD

點評 理解三種宇宙速度，特別注意第一宇宙速度的三種說法，能抓住萬有引力提供向心力列出等式解決問題的思路，再進行討論求解．