Question

7．如圖所示，光滑水平桿PQ固定在光滑水平地面MN正上方，小球A、B穿套在桿上，小球B、C間的輕質(zhì)橡皮筋恰好處于豎直、無(wú)彈力狀態(tài)．開(kāi)始時(shí)，小球均靜止，現(xiàn)給予小球A一瞬時(shí)沖量I讓A獲得水平向右的速度，與B發(fā)生碰撞后合為一個(gè)整體但不粘連，此后運(yùn)動(dòng)過(guò)程中小球C始終都沒(méi)有離開(kāi)地面．已知A、B、C的質(zhì)量分別為m、2m、3m，橡皮筋沒(méi)有超出彈性限度，PQ、MN足夠長(zhǎng)．求：
（1）A、B碰撞后的速度大��；
（2）在橡皮筋第一次伸長(zhǎng)的過(guò)程中，最大的彈性勢(shì)能；
（3）B開(kāi)始運(yùn)動(dòng)后，最大的速度大小．

Answer 1

分析 （1）對(duì)A，瞬時(shí)沖量I作用過(guò)程，由動(dòng)量定理求出A獲得的速度．對(duì)于AB碰撞過(guò)程，由動(dòng)量守恒定律求碰撞后的速度大�。�
（2）此后AB在橡皮筯彈力作用下減速，C在橡皮筯彈力作用下加速，到共同速度時(shí)橡皮筯達(dá)到第一次伸長(zhǎng)過(guò)程的最大值，彈性勢(shì)能最大．根據(jù)系統(tǒng)的動(dòng)量守恒和機(jī)械能守恒列式求解．
（3）橡皮筯在第一次恢復(fù)時(shí)，AB質(zhì)量與C質(zhì)量相等，交換速度，此時(shí)AB速度為0，C速度為AB碰撞后的速度大小．此后C向右運(yùn)動(dòng)伸橡皮筯使得AB分離，A最終處于靜止?fàn)顟B(tài)，而橡皮筯的彈力使得B加速，直至橡皮筯再次達(dá)到原長(zhǎng)時(shí)B加速到最大速度．由動(dòng)量守恒和機(jī)械能守恒求解．

解答 解：（1）對(duì)A，由動(dòng)量定理得：I=mv…①
設(shè)AB碰撞后的速度為v₁．取向右為正方向，由動(dòng)量守恒得：mv=3mv₁…②
由①②解得：v₁=$\frac{I}{3m}$
（2）此后AB在橡皮筯彈力作用下減速，C在橡皮筯彈力作用下加速，到共速時(shí)橡皮筯達(dá)到第一次伸長(zhǎng)過(guò)程的最大值，彈性勢(shì)能最大．設(shè)ABC的速度為v₂．根據(jù)系統(tǒng)的動(dòng)量守恒和機(jī)械能守恒得：
 3mv₁=6mv₂…③
 $\frac{1}{2}•$m${v}_{1}^{2}$=$\frac{1}{2}•6m{v}_{2}^{2}$+E_p…④
解得：E_p=$\frac{{I}^{2}}{12m}$
（3）橡皮筯在第一次恢復(fù)時(shí)，AB質(zhì)量與C質(zhì)量相等，交換速度，此時(shí)AB速度為0，C速度為AB碰撞后的速度大�。簐₁=$\frac{I}{3m}$．
此后C向右運(yùn)動(dòng)伸橡皮筯使得AB分離，A最終處于靜止?fàn)顟B(tài)，而橡皮筯的彈力使得B加速，直至橡皮筯再次達(dá)到原長(zhǎng)時(shí)B加速到最大速度v₃，此時(shí)C的速度為v₄，從分離到B最大速度v₃的過(guò)程，由動(dòng)量守恒和機(jī)械能守恒得：
  3mv₁=2mv₃+3mv₄…⑤
  $\frac{1}{2}•3m{v}_{1}^{2}$=$\frac{1}{2}•2m{v}_{3}^{2}$+$\frac{1}{2}•3m{v}_{4}^{2}$…⑥
由⑤⑥得：v₃=$\frac{2I}{5m}$
答：（1）A、B碰撞后的速度大小為$\frac{I}{3m}$；
（2）在橡皮筋第一次伸長(zhǎng)的過(guò)程中，最大的彈性勢(shì)能為$\frac{{I}^{2}}{12m}$；
（3）B開(kāi)始運(yùn)動(dòng)后，最大的速度大小為$\frac{2I}{5m}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了動(dòng)量守恒定律，能量守恒定律的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是分析小球的運(yùn)動(dòng)情況，知道什么時(shí)候彈性勢(shì)能最大，過(guò)程較為復(fù)雜．