Question

1．如圖所示，一半徑為R的半球形玻璃磚，O為球心，其上表面水平，玻璃磚下方水平放置了足夠大的光屏，玻璃磚上表面與光屏間距為d=2$\sqrt{2}$R．一束恰好照射滿了玻璃磚上表面的單色光垂直于上表面射入玻璃磚，其中一部分光經(jīng)玻璃磚折射后能到達(dá)光屏上．已知玻璃磚對該光的折射率為n=$\sqrt{2}$，求光屏上被該光照亮的面積．（不考慮光在玻璃磚內(nèi)的反復(fù)反射）．

Answer 1

分析 作出半圓柱體的橫截面．光線在透光的邊界恰好發(fā)生全反射，入射角等于臨界角，即可由折射定律求出光線在柱面上的入射角，由幾何知識求面積S．

解答 解：根據(jù)題設(shè)做出光路圖如圖所示

設(shè)光在玻璃中的臨界角為α，則sinα=$\frac{1}{n}$，
α=45°
對應(yīng)的臨界光線AQ的折射角為β=90°
由幾何關(guān)系可知三角形APO為等腰直角三角形
PA=PO=Rsinα=Rsin45°=$\frac{\sqrt{2}}{2}$R
又幾何關(guān)系 AQ=$\frac{d-PA}{cos（β-α）}$=3R
光屏上被光束照亮的部分是圓形，其半徑：
r=AQsin（β-α）-$\frac{\sqrt{2}}{2}$R=$\sqrt{2}$R
圓形面積為：S=πr²=2πR² 
答：光屏上被該光照亮的面積為2πR²．

點(diǎn)評 本題關(guān)鍵要掌握全反射及其產(chǎn)生條件，結(jié)合幾何知識求解即可．