Question

美國航空航天局和歐洲航空航天局合作研究的“卡西尼”號土星探測器，在美國東部時間2004年6月30日（北京時間7月1日）抵達預(yù)定軌道，開始“拜訪”土星及其衛(wèi)星家族．質(zhì)量為m的“卡西尼”號探測器進入繞土星飛行的軌道，先在半徑為R的圓形軌道Ⅰ上繞土星飛行，運行速度大小為υ₁．為了進一步探測土星表面的情況，當(dāng)探測器運行到A點時發(fā)動機向前噴出質(zhì)量為△m的氣體，探測器速度大小減為υ₂，進入一個橢圓軌道Ⅱ，運行到B點時再一次改變速度，然后進入離土星更近的半徑為r的圓軌道Ⅲ，如圖所示．設(shè)探測器僅受到土星的萬有引力，不考慮土星的衛(wèi)星對探測器的影響，探測器在A點噴出的氣體速度大小為u．求：
（1）探測器在軌道Ⅲ上的運行速率υ₃和加速度的大�。�
（2）探測器在A點噴出的氣體質(zhì)量△m．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)萬有引力提供向心力G

Mm

R2

=m

v12

R

，G

Mm′

r2

=m′

v32

r

 求出軌道Ⅲ上的線速度．根據(jù)G

Mm′

r2

=m′a求出軌道Ⅲ上的加速度．
（2）根據(jù)動量守恒定律mυ₁=（m-△m）υ₂+△mu求出探測器在A點噴出的氣體質(zhì)量△m．

解答：解：（1）在軌道I上，探測器所受萬有引力提供向心力，設(shè)土星質(zhì)量為M，則有
G

Mm

R2

=m

v12

R

              ①
同理，在軌道Ⅲ上有
G

Mm′

r2

=m′

v32

r

         ②
由式①②可得            υ₃=

R r

υ₁              ③
探測器在軌道Ⅲ上運行時加速度設(shè)為a，則有
G

Mm′

r2

=m′a    ④
由式①④可得            a=

v12R

r2

             
故探測器在軌道Ⅲ上的運行速率υ₃和加速度的大小分別為υ₃=

R r

υ₁，a=

v12R

r2

．
（2）探測器在A點噴出氣體前后，由動量守恒得
    
△m=

mv1-mv2

u-v2

    
故探測器在A點噴出的氣體質(zhì)量△m為

mv1-mv2

u-v2

．

點評：解決本題的關(guān)鍵掌握萬有引力提供向心力G

Mm

r2

=m

v 2

r

=ma，以及掌握動量守恒定律．