Question

6．如圖甲所示，A、B兩板間距為$\frac{L}{2}$，板間電勢差為U，C、D兩板間距離和板長均為L，兩板間加一如圖乙所示的電壓．在S處有一個初速度為0，電荷量為q、質(zhì)量為m的帶電粒子，經(jīng)A、B間電場加速，又恰好經(jīng)C、D間還沒有變化的電場偏轉(zhuǎn)后，進(jìn)入一個垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場區(qū)域，磁感強(qiáng)度為B．不計重力影響，欲使該帶電粒子經(jīng)過某路徑后能返回S處．且自該帶電粒子從S處進(jìn)入到返回S處所需要的時間恰好與C、D間電場變化的周期相同．求：
（1）勻強(qiáng)磁場的寬度L′至少為多少？
（2）C、D兩極板間所加電壓的周期T．

Answer 1

分析 （1）帶電粒子在電場AB中做加速運(yùn)動，由動能定理即可求解速度，偏轉(zhuǎn)階段，帶電粒子作類平拋運(yùn)動，根據(jù)平拋運(yùn)動的基本規(guī)律即可求解偏移量；
根據(jù)幾何關(guān)系求出在電場中的偏轉(zhuǎn)角，從而求出在磁場中做圓周運(yùn)動的圓心角，根據(jù)洛倫茲力提供向心力結(jié)合幾何關(guān)系即可求解B和L′；
（2）根據(jù)運(yùn)動學(xué)基本公式求出加速電場和偏轉(zhuǎn)電場中運(yùn)動的時間，再根據(jù)圓周運(yùn)動周期公式求出在磁場中的時間，從而求出總時間，即為該帶電粒子周期性運(yùn)動的周期．

解答 解：（1）AB加速階段，由動能定理得：qU=$\frac{1}{2}{mv}^{2}$
解得：v=$\sqrt{\frac{2Uq}{m}}$   
偏轉(zhuǎn)階段，帶電粒子作類平拋運(yùn)動?
偏轉(zhuǎn)時間${t}_{1}=\frac{L}{v}=L\sqrt{\frac{m}{2qU}}$
側(cè)移量y=$\frac{1}{2}{{at}_{1}}^{2}=\frac{1}{2}×\frac{{{qU}_{2}L}^{2}}{mL}•\frac{m}{2qU}=\frac{L}{2}$；
設(shè)在偏轉(zhuǎn)電場中，偏轉(zhuǎn)角為θ?則tanθ=$\frac{{v}_{y}}{v}=\frac{{at}_{1}}{v}=\frac{{qU}_{2}}{mL}•\frac{L}{{v}^{2}}=1$  
即θ=45°
由幾何關(guān)系：Rsin45°+R=L′
Rcos45°=$\frac{L}{2}$
解得R=$\frac{\sqrt{2}}{2}L=\frac{mv}{Bq}$
所以L′=$\frac{\sqrt{2}+1}{2}L$；
（2）設(shè)粒子在加速電場中運(yùn)動的時間為t₂，則${t}_{2}=\frac{\frac{L}{2}}{\frac{v}{2}}=L\sqrt{\frac{m}{2qU}}$
帶電粒子在磁場中做圓周運(yùn)動的周期?T′=$\frac{2πm}{Bq}$
實際轉(zhuǎn)過的角度$α=2π-2θ=\frac{3π}{2}$、在磁場中運(yùn)動時間${t}_{3}=\frac{3}{4}T′=\frac{3πm}{2qB}$
故粒子運(yùn)動的周期T=2${t}_{1}+{2t}_{2}{+t}_{3}=4L\sqrt{\frac{m}{2qU}}$+$\frac{3πm}{2qB}$
答：（1）勻強(qiáng)磁場的寬度L′至少為$\frac{\sqrt{2}+1}{2}L$；
（2）該帶電粒子周期性運(yùn)動的周期T為$4L\sqrt{\frac{m}{2qU}}$+$\frac{3πm}{2qB}$

點評 本題考查帶電粒子在電場、磁場中兩運(yùn)動模型：勻速圓周運(yùn)動與類平拋運(yùn)動，及相關(guān)的綜合分析能力，以及空間想像的能力，應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決物理問題的能力．