Question

4．水平直線ab上方L處的P點(diǎn)有一個(gè)粒子源，可以向各個(gè)方向發(fā)射速度大小相同的帶電粒子，粒子的電荷量為+q，質(zhì)量為m．如果在ab上方區(qū)域存在垂直該平面向里、磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，沿紙面水平向左射出的帶電粒子恰到達(dá)Q點(diǎn)．如圖所示，PC垂直于ab，QC=$\frac{L}{2}$．如果在ab上方區(qū)域只存在平行于紙面的勻強(qiáng)電場(chǎng)，沿不同方向發(fā)射的帶電粒子到達(dá)ab邊界時(shí)，它們的動(dòng)能都相等，且沿水平向左射出的帶電粒子也恰好到達(dá)Q點(diǎn)．不計(jì)帶電粒子的重力（sin37°=0.6；cos37°=0.8），求：
（1）帶電粒子的發(fā)射速率；
（2）勻強(qiáng)電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)大小和方向；
（3）當(dāng)僅如上述磁場(chǎng)時(shí)，能射出磁場(chǎng)區(qū)域的帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的最短路程．

Answer 1

分析 （1）粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，洛倫茲力提供向心力，由牛頓第二定律可以求出粒子的速度．
（2）粒子在電場(chǎng)中做類平拋運(yùn)動(dòng)，應(yīng)用類平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律可以求出電場(chǎng)強(qiáng)度．
（3）求出粒子轉(zhuǎn)過(guò)的最小圓心角，然后求出粒子的最小路癡．

解答 解：（1）只加磁場(chǎng)時(shí)，粒子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，設(shè)粒子軌道半徑為R，子運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示：
由幾何知識(shí)得：$\frac{PC}{PQ}$=$\frac{QA}{QO}$，
解得：R=QO=$\frac{5}{8}$L，
粒子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，洛倫茲力通過(guò)向心力，由牛頓第二定律得：qvB=m$\frac{{v}^{2}}{R}$，
解得：v=$\frac{5qBL}{8m}$；
（2）只加勻強(qiáng)電場(chǎng)時(shí)，粒子到達(dá)ab直線的動(dòng)能相等，則ab為等勢(shì)面，則電場(chǎng)方向垂直ab向下，水平向左射出的粒子做類平拋運(yùn)動(dòng)，與ab平行方向：CQ=$\frac{L}{2}$=vt，與ab垂直方向：PC=L=$\frac{1}{2}$at²，
加速度：a=$\frac{qE}{m}$，
解得：E=$\frac{25qL{B}^{2}}{8m}$；
（3）只加磁場(chǎng)時(shí)，圓弧O₁經(jīng)C點(diǎn)，粒子轉(zhuǎn)過(guò)的圓心角最小，運(yùn)動(dòng)時(shí)間最短，對(duì)應(yīng)的路程最小，運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示：
由幾何知識(shí)得：sinθ=$\frac{\frac{L}{2}}{R}$=$\frac{4}{5}$，
解得：θ=53；
最小圓心角：α=2θ=106°，
最短路程：s=$\frac{α}{360°}$×2πR=$\frac{53πL}{144}$；
答：（1）帶電粒子的發(fā)射速率是$\frac{5qBL}{8m}$；
（2）勻強(qiáng)電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)大小為：$\frac{25qL{B}^{2}}{8m}$，方向：垂直ab向下；
（3）當(dāng)僅如上述磁場(chǎng)時(shí)，能射出磁場(chǎng)區(qū)域的帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的最短路程為$\frac{53πL}{144}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了粒子在電場(chǎng)與磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，分析清楚粒子運(yùn)動(dòng)過(guò)程、應(yīng)用牛頓第二定律可以解題，作出粒子運(yùn)動(dòng)軌跡、應(yīng)用幾何知識(shí)是正確解題的關(guān)鍵．