Question

9．如圖所示，一圓柱形容器內(nèi)，盛有很深的某種液體，其密度為水銀的$\frac{1}{4}$，在容器的上方有一活塞，活塞與液面之間有L₀=10cm高的密封氣體，氣體壓強(qiáng)為1atm，一只管口向下的小試管豎直插入液體中，平衡時(shí)試管內(nèi)外液面高度差h=4cm，試管密閉端到容器內(nèi)液面的高度L=4cm，今向下緩慢移動(dòng)活塞，試管將向下移動(dòng)，整個(gè)過程溫度不變，為使試管不沉到容器底部，活塞下移的距離不得超過多少？（不計(jì)容器內(nèi)液面的變化）

Answer 1

分析 先結(jié)合幾何關(guān)系求出氣體的體積；然后正確選擇研究對(duì)象，求出氣體的壓強(qiáng)；最后根據(jù)使試管恰好不沉到容器底部的臨界條件，求出對(duì)應(yīng)的氣體的壓強(qiáng)，由壓強(qiáng)的公式即可求出活塞向下運(yùn)動(dòng)的距離．

解答 解：開始時(shí)活塞下容器內(nèi)氣體的壓強(qiáng)：P₀=1atm=76cmHg，
由于容器中液體的密度為水銀的$\frac{1}{4}$，則4cm的該液體的高度產(chǎn)生的壓強(qiáng)才等于1cm高的水銀柱產(chǎn)生的壓強(qiáng)．所以試管內(nèi)氣體的壓強(qiáng)：
${P}_{1}={P}_{0}+\frac{1}{4}h=76+4×\frac{1}{4}=77$cmHg，
以試管為研究的對(duì)象，設(shè)試管的質(zhì)量為m，橫截面積為S，試管處于平衡狀態(tài)，則：
mg+P₀S=P₁S
設(shè)液體的密度為ρ，整理得：mg=P₁S-P₀S=ρ•Sh•g
當(dāng)活塞向下移動(dòng)的過程中，氣體的壓強(qiáng)增大，則容器內(nèi)的氣體的壓強(qiáng)增大，試管內(nèi)的氣體的壓強(qiáng)也增大，氣體的體積將減小，試管下降，當(dāng)試管的底端恰好與液體的上表面平齊時(shí)，試管恰好浮在水面上，若再增大壓強(qiáng)，則試管會(huì)沉入水底．
在試管恰好要沉入水底時(shí)，設(shè)容器內(nèi)的 壓強(qiáng)為P，試管內(nèi)的壓強(qiáng)為P₁′，以試管為研究的對(duì)象，則滿足：mg+PS=P₁′•S
可知：P₁′-P=mg=ρ•Sh•g
所以其臨界條件是氣體的體積恰好為：
V′=hS
而開始時(shí)氣體的體積：V=（L+h）•S
氣體做等溫變化，由玻意耳定律得：P₁V=P₁′•V′
代入數(shù)據(jù)，整理得：P₁′=2P₁=2×77=154cmHg
此時(shí)容器內(nèi)氣體的壓強(qiáng)：$P={P}_{1}′-\frac{1}{4}h=154-\frac{1}{4}×4=153$cmHg
以活塞下容器內(nèi)的氣體為研究的對(duì)象，當(dāng)試管恰好要沉入水中時(shí)，設(shè)氣體的長(zhǎng)度為L(zhǎng)，則有玻意耳定律得：
P₀•L₀=P•L
所以：L=$\frac{{P}_{0}{L}_{0}}{P}=\frac{76×10}{153}=4.97$cm
所以活塞向下移動(dòng)的距離：△L=L₀-L=10-4.97=5.03cm
答：活塞需要向下移動(dòng)5.03cm．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了求氣體壓強(qiáng)、氣體溫度，分析清楚氣體狀態(tài)變化過程，求出氣體狀態(tài)參量、應(yīng)用玻意耳定律與查理定律即可正確解題．