Question

20．如圖所示，在一光滑的長直軌道上，放著若干完全相同的小木塊，每個小木塊的質(zhì)量均為m，且體積足夠小均能夠看成質(zhì)點，其編號依次為0、1、2、…n…，相鄰各木塊之間的距離分別記作：l₁，l₂，…l_n…．在所有木塊都靜止的初始條件下，有一個沿軌道方向水平向右的恒力F持續(xù)作用在0號小木塊上，使其與后面的木塊連接發(fā)生碰撞，假如所有碰撞都是完全非彈性的（碰后合為一體共速運動）．求：

（1）在0號木塊與1號木塊碰撞后瞬間，其共同速度的表達(dá)式；
（2）若F=10牛，l₁=l₂=1米，那么在2號木塊被碰撞后的瞬間，系統(tǒng)的總動能為多少？
（3）在F=10牛，l₁=1米的前提下，為了保持正在運動的物塊系統(tǒng)在每次碰撞之前的瞬間其總動能都為一個恒定的數(shù)值，那么我們應(yīng)該設(shè)計第n-1號和第n號木塊之間距離l_n為多少米？

Answer 1

分析 （1）由動能定理求出碰撞前0號木塊的速度，碰撞過程系統(tǒng)動量守恒，由動量守恒定律求出速度．
（2）由動能的計算公式、動量與動能的關(guān)系求出系統(tǒng)的總動能．
（3）應(yīng)用動能定理可以求出木塊間的距離．

解答 解（1）0號與1號碰撞前、后0號的瞬時速度分別為v₁、v'_共1
對0號木塊，由動能定理得：$F{l_1}=\frac{1}{2}mv_1^2-0$，
碰撞過程系統(tǒng)動量守恒，以向右為正方向，由動量守恒定律得：mv₁=2mv'_共1，
解得：v'_共1=$\frac{\sqrt{2}}{2}$$\sqrt{\frac{F{l}_{1}}{m}}$；
（2）1號剛剛被碰之后，系統(tǒng)的總動能：${E'_{k1}}=\frac{1}{2}×2m×v'_{共1}^2=5$J…①
2號木塊臨近被碰前系統(tǒng)的總動能：E_k2=E'_k1+Fl₂=5+10×1=15J
由$P=\sqrt{2m{E_k}}$關(guān)系和動量守恒定律有：$\sqrt{2×2m{E_{k2}}}=\sqrt{2×3m{{E'}_{k2}}}$，
得2號剛被碰之后的系統(tǒng)的總動能：${E'_{k2}}=\frac{2}{3}{E_{k2}}=\frac{2}{3}×15=10$J；
（3）由題意分析知每次碰撞前系統(tǒng)需保持的總動能為：E_k=Fl₁=10焦，
將①式道理推廣到其他各次碰撞中，可得與第n-1塊碰撞前后系統(tǒng)的動能關(guān)系為：${E'_{{k_{n-1}}}}=\frac{n-1}{n}{E_{{k_{n-1}}}}$
在l₂段應(yīng)用動能定理有：$F{l_2}={E_{k_2}}-{E'_{k_1}}={E_{k_2}}-\frac{1}{2}{E_{k_1}}$，
則：${l_2}=\frac{1}{2}$米
在l₃段應(yīng)用動能定理有：$F{l_3}={E_{k_3}}-{E'_{k_2}}={E_{k_3}}-\frac{2}{3}{E_{k_2}}$，
則：${l_3}=\frac{1}{3}$米
在l_n段應(yīng)用動能定理有：$F{l_n}={E_{k_n}}-{E'_{{k_{n-1}}}}={E_{k_n}}-\frac{n-1}{n}{E_{{k_{n-1}}}}$，
則：${l_n}=\frac{1}{n}$米；
答：（1）在0號木塊與1號木塊碰撞后瞬間，其共同速度的表達(dá)式為：v'_共1=$\frac{\sqrt{2}}{2}$$\sqrt{\frac{F{l}_{1}}{m}}$；
（2）若F=10牛，l₁=l₂=1米，那么在2號木塊被碰撞后的瞬間，系統(tǒng)的總動能為10J；
（3）第n-1號和第n號木塊之間距離l_n為$\frac{1}{n}$米．

點評 本題考查了求速度、動能與距離問題，分析清楚木塊運動過程，應(yīng)用動能定理、動量守恒定律即可正確解題，解題時注意數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用．