Question

如圖所示，有一與豎直方向夾角為45°的直線邊界，其左下方有一正交的勻強(qiáng)電磁場(chǎng)，磁場(chǎng)方向垂直于紙面向里，磁感應(yīng)強(qiáng)度B=

5

3

T；電場(chǎng)方向豎直向上，場(chǎng)強(qiáng)E=

mg

q

=10N/C，一質(zhì)量為m=2×10^-5kg，電荷量q=+2×10^-5C的小球從邊界上N點(diǎn)正上方高為h=0.2m處的M點(diǎn)靜止釋放，下落到N點(diǎn)時(shí)小球瞬間爆炸成質(zhì)量、電荷量均相等的A、B兩塊，已知爆炸后A向上運(yùn)動(dòng)，能達(dá)到的最大高度為4h；B向下運(yùn)動(dòng)進(jìn)入電磁場(chǎng)區(qū)域，此后A也將進(jìn)入電磁場(chǎng)區(qū)域．g=10m/s²
求：
（1）B剛進(jìn)入電磁場(chǎng)區(qū)域的速度v₁？
（2）B第二次進(jìn)入電磁場(chǎng)區(qū)域的速度v₂？
（3）設(shè)B、A第二次進(jìn)入電磁場(chǎng)時(shí)，與邊界OO'交點(diǎn)分別為P、Q，求PQ之間的距離．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)動(dòng)能定理，結(jié)合動(dòng)量守恒定律求出B剛進(jìn)入電磁場(chǎng)區(qū)域的速度．
（2）B進(jìn)入電磁場(chǎng)，受到的電場(chǎng)力和重力相等，做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)幾何關(guān)系，得出B出磁場(chǎng)后的速度方向，從而確定其運(yùn)動(dòng)情況，從而根據(jù)運(yùn)動(dòng)分析得出第二次進(jìn)入電磁場(chǎng)的速度．
（3）根據(jù)圓周運(yùn)動(dòng)的知識(shí)，結(jié)合軌道半徑，運(yùn)用幾何關(guān)系分別求出A、B第二次進(jìn)入電磁場(chǎng)與第一次進(jìn)入電磁場(chǎng)之間的距離，從而求出PQ之間的距離．

解答：解：（1）根據(jù)動(dòng)能定理得，mgh=

1

2

mv02
解得v0=

2gh

．
規(guī)定向下為正方向，
爆炸的瞬間系統(tǒng)動(dòng)量守恒，mv0=

1

2

mvA1+

1

2

mvB1
爆炸后A向上運(yùn)動(dòng)，能上升的最大高度為4h，則vA1=-

8gh

．
B剛進(jìn)入電磁場(chǎng)區(qū)域的速度v₁=v_B1=8m/s．
（2）對(duì)B：進(jìn)入磁場(chǎng)后，由于qE=mg，所以做勻速圓周運(yùn)動(dòng)．
由幾何關(guān)系知，B離開電磁場(chǎng)做平拋運(yùn)動(dòng)．
s=v₁t 
h=

1

2

gt2
tan45°=

s

h

解得：t=

2v1

g

=1.6s．
B第二次進(jìn)入電磁場(chǎng)區(qū)域：v2=

v12+(gt)2

=8

5

m/s
方向與水平方向的夾角tanα=2．
（3）對(duì)B：第一次進(jìn)入電磁場(chǎng)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)．

1

2

qv1B=

mv12

2RB

，解得：RB=

mv1

qB

．
B第二次進(jìn)入電磁場(chǎng)與第一次進(jìn)入電磁場(chǎng)的距離NP．
NP=NC+CP=

2

RB+

2

S．
同理，A第二次進(jìn)入電磁場(chǎng)與第一次進(jìn)入電磁場(chǎng)的距離為NQ．
NQ=ND+DQ=

2

RA+

2

S₁．
PQ=

2

(RB-RA+S-S1)=

2

(

mv1

qB

-

mvA1

qB

+

2v12

g

-

2vA12

g

)=12

2

m．
答：（1）B剛進(jìn)入電磁場(chǎng)區(qū)域的速度為8m/s．
（2）B第二次進(jìn)入電磁場(chǎng)區(qū)域的速度為8

5

m/s．
（3）PQ之間的距離為12

2

m．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合運(yùn)用了動(dòng)能定理、動(dòng)量守恒定律、牛頓第二定律，綜合性較強(qiáng)，對(duì)數(shù)學(xué)幾何能力的要求較高，關(guān)鍵搞清A、B的運(yùn)動(dòng)情況，選擇合適的規(guī)律進(jìn)行求解．