Question

9．我國的航空航天事業(yè)取得了巨大成就．2013年12月14日，“嫦娥三號”探測器在月球上的虹灣區(qū)成功實現(xiàn)軟著陸．“嫦娥三號”在著陸前經(jīng)歷了發(fā)射入軌、地月轉(zhuǎn)移、環(huán)月飛行等一系列過程，右圖為“嫦娥三號”的飛行軌道示意圖．當“嫦娥三號”在環(huán)月段上做勻速圓周運動時，運行軌道距離月球表面的高度為H，已知月球的質(zhì)量為M，“嫦娥三號”的質(zhì)量為m，月球半徑為R_月，引力常量G．忽略月球自轉(zhuǎn)影響．求“嫦娥三號”在環(huán)月段上做勻速圓周運動時：
（1）與月球之間的萬有引力；
（2）運行速度；
（3）運行周期．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)萬有引力定律，即可求解；
（2）依據(jù)牛頓第二定律，結(jié)合萬有引力提供向心力，列出$G\frac{Mm}{{{{（{R_月}+H）}^2}}}=m\frac{v^2}{{{R_月}+H}}$表達式，即可求解；
（3）根據(jù)牛頓第二定律，結(jié)合萬有引力提供向心力，列出$G\frac{Mm}{{{{（{R_月}+H）}^2}}}=m{（\frac{2π}{T}）^2}（{R_月}+H）$表達式，即可求解．

解答 解：
（1）根據(jù)萬有引力定律${F_萬}=G\frac{Mm}{{{{（{R_月}+H）}^2}}}$
（2）根據(jù)牛頓第二定律$G\frac{Mm}{{{{（{R_月}+H）}^2}}}=m\frac{v^2}{{{R_月}+H}}$
解得$v=\sqrt{\frac{GM}{{{R_月}+H}}}$
（3）根據(jù)牛頓第二定律$G\frac{Mm}{{{{（{R_月}+H）}^2}}}=m{（\frac{2π}{T}）^2}（{R_月}+H）$
解得 $T=2π\(zhòng)sqrt{\frac{{{{（{R_月}+H）}^3}}}{GM}}$
答：（1）與月球之間的萬有引力$\frac{GMm}{（{R}_{月}+H）^{2}}$；
（2）運行速度$\sqrt{\frac{GM}{{R}_{月}+H}}$；
（3）運行周期$2π\(zhòng)sqrt{\frac{（{R}_{月}+H）^{3}}{GM}}$．

點評 本題關(guān)鍵是要知道“嫦娥三號”繞月球做圓周運動的向心力由萬有引力提供，并且要能夠根據(jù)題目的要求選擇恰當?shù)南蛐牧Φ谋磉_式．