Question

【題目】如圖，兩根相距的平行金屬導(dǎo)軌OC，，水平放置于勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，磁場(chǎng)方向水平向左，磁感應(yīng)強(qiáng)度。導(dǎo)軌右端O、連接著與水平面成30的光滑平行導(dǎo)軌OD、，OC與OD、與分別位于同一豎直平面內(nèi)，垂直于OC、傾斜導(dǎo)軌間存在一勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁場(chǎng)方向垂直于導(dǎo)軌向上，磁感應(yīng)強(qiáng)度兩根與傾斜導(dǎo)軌垂直的金屬桿M、N被固定在導(dǎo)軌上，M、N的質(zhì)量均為，電阻均為，桿與水平導(dǎo)軌間的動(dòng)摩擦因數(shù)為�，F(xiàn)將M桿從距邊界處?kù)o止釋放，已知M桿到達(dá)邊界前已開(kāi)始做勻速運(yùn)動(dòng)。當(dāng)M桿一到達(dá)邊界時(shí)，使N桿在一平行導(dǎo)軌向下的外力F作用下，開(kāi)始做加速度為的勻加速運(yùn)動(dòng)。導(dǎo)軌電阻不計(jì)，g取。

（1）求M桿下滑過(guò)程中，M桿產(chǎn)生的焦耳熱Q；

（2）求N桿下滑過(guò)程中，外力F與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系；

（3）已知M桿停止時(shí)，N桿仍在斜面上，求N桿運(yùn)動(dòng)的位移；

（4）已知M桿進(jìn)入水平軌道直到停止的過(guò)程中，外力F對(duì)N桿所做的功為15J，求這一過(guò)程中系統(tǒng)產(chǎn)生的總熱量。

Answer 1

【答案】（1）18.75J；（2）；（3）3m；（4）24.5J。

【解析】

（1）M桿勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)受力平衡，由平衡條件可求出M桿勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)的速度，再由能量守恒定律求解M桿產(chǎn)生的焦耳熱

（2）N桿下滑時(shí)做勻加速運(yùn)動(dòng)，根據(jù)牛頓第二定律和安培力與速度的關(guān)系列式，可求出F與t的關(guān)系式。

（3）N桿在斜軌道上滑行的過(guò)程中，M桿在水平面上做減速運(yùn)動(dòng)。對(duì)M桿，根據(jù)牛頓第二定律列式可得到加速度與時(shí)間的關(guān)系，作出M桿的加速度與時(shí)間的圖象，圖象與時(shí)間軸所圍成的面積表示M桿速度的變化量，根據(jù)速度的變化量大小得到M桿停止時(shí)所用時(shí)間，根據(jù)兩桿運(yùn)動(dòng)的同時(shí)性，得到N桿的運(yùn)動(dòng)時(shí)間，再由位移時(shí)間公式求出N桿運(yùn)動(dòng)的位移s。

（4）這一過(guò)程中系統(tǒng)產(chǎn)生的總熱量等于M桿摩擦產(chǎn)生的熱量和N桿產(chǎn)生的焦耳熱之和，根據(jù)功能關(guān)系分別求解得出。

（1）M桿下滑過(guò)程中受到的安培力

M桿勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)速度最大，此時(shí)受力平衡，由平衡條件可得

代入數(shù)據(jù)解得

根據(jù)能量守恒有

代入數(shù)據(jù)解得

M桿產(chǎn)生的焦耳熱

（2）N桿下滑時(shí)做勻加速運(yùn)動(dòng)，t時(shí)刻所受的安培力大小

由牛頓第二定律得：

聯(lián)立代入數(shù)據(jù)解得：

所以N桿下滑過(guò)程中，外力F與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系為。

（3）N桿在斜軌道滑行中，M桿在水平面上做減速運(yùn)動(dòng)，根據(jù)牛頓第二定律有：

代入數(shù)據(jù)解得：

，

即N桿作加速度逐漸增大的減速運(yùn)動(dòng)。

作出N桿加速度與時(shí)間的圖象，如圖所示：

可知圖中圍成的面積是N桿速度的變化量，當(dāng)N桿停止時(shí)，速度的改變量大小為

設(shè)N桿經(jīng)過(guò)時(shí)間t恰好停止運(yùn)動(dòng)，則有：

代入數(shù)據(jù)解得：

t=1s

所以N桿在這一秒內(nèi)運(yùn)動(dòng)的位移為：

（4）M桿和水平軌道由于摩擦產(chǎn)生的熱量即為M桿克服摩擦力所做的功：

代入數(shù)據(jù)解得：

對(duì)于N桿，根據(jù)動(dòng)能定理得：

速度，代入數(shù)據(jù)解得

所以兩金屬棒共同產(chǎn)生的焦耳熱

這一過(guò)程中系統(tǒng)產(chǎn)生的總熱量