Question

16．如圖所示，質量為m的小物塊放在水平面上，細線一端與小物塊相連，另一端水平地緊繞在半徑為R，質量為2m的薄壁圓筒上，t=0時刻，圓筒在電動機帶動下由靜止開始繞豎直中心軸轉動，轉動中角速度滿足ω=β₁t（β₁為已知常量），物塊和地面之間動摩擦因數(shù)為μ．
（1）求t=t₁時刻圓筒邊緣的線速度大小；
（2）從開始運動至t=t₁時刻，電動機做了多少功？
（3）若圓筒角速度達到ω₀時，使其減速轉動，并以此為t=0時刻，且角速度滿足ω=ω₀-β₂t（式中ω₀、β₂均為已知），則小物塊經(jīng)多長時間后停止運動？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)線速度與角速度間的關系求出線速度．
（2）求出物塊的位移，應用動能定理求出電動機做的功．
（3）根據(jù)物塊的運動情況應用速度公式求出時間．

解答 解：（1）線速度：v=ωR=β₁t₁R；
（2）物塊的前進速度與圓筒邊緣的線速度大小相等，線速度：v=ωR=β₁tR，
物塊做初速度為零的勻加速直線運動，加速度：a=β₁R，
t₁時間內物塊前進的距離：s=$\frac{1}{2}$at₁²=$\frac{1}{2}$β₁Rt₁²，
對系統(tǒng)，由動能定理得：W_電-μmgs=$\frac{1}{2}$（2m）v²+$\frac{1}{2}$mv²，
電動機做功：W_電=$\frac{1}{2}$μmgRβ₁t₁²+$\frac{3}{2}$mR²β₁²t₁²；
（3）圓筒減速后，邊緣線速度大小為：v=ωR=ω₀R-β₂tR，
線速度變化率為：a=β₂R，
若a≤μg，細線處于拉緊狀態(tài)，物塊與圓筒同時停止，
物塊減速時間：t=$\frac{{ω}_{0}R}{a}$=$\frac{{ω}_{0}}{{β}_{2}}$；
如果a≥μg，細線松弛，物塊在水平方向僅受摩擦力，
物塊減速時間：t=$\frac{{ω}_{0}R}{μg}$；
答：（1）t=t₁時刻圓筒邊緣的線速度大小為β₁t₁R；
（2）從開始運動至t=t₁時刻，電動機做的功為$\frac{1}{2}$μmgRβ₁t₁²+$\frac{3}{2}$mR²β₁²t₁²；
（3）小物塊停止運動需要的時間為：$\frac{{ω}_{0}}{{β}_{2}}$或$\frac{{ω}_{0}R}{μg}$．

點評 本題提到了角加速度這個新的概念，關鍵是推導出滑塊的線速度公式進行分析，將轉動的研究轉化為平動的研究進行分析．