Question

13．如圖所示，MNPQ是用單位長度電阻為r₀的均勻金屬條制成的矩形閉合框，線框固定在傾角為θ的絕緣斜面上，MN長為L，MQ長為4L，有一磁感應強度為B的勻強磁場垂直穿過斜面．質量為m的金屬桿ab在外力F作用下，以速度v勻速沿斜面向下滑過矩形框，滑行過程中ab始終平行于MN且與框良好接觸，外力F始終沿斜面且垂直于ab．已知金屬桿ab的單位長度電阻為2.1r₀，不計桿與框的摩擦．重力加速度取g，將桿ab經(jīng)過MN時的位移記為s=0，求：
（1）桿ab中感應電流I隨位移s變化的關系式；
（2）桿ab發(fā)熱功率的最小值；
（3）矩形框MNPQ上發(fā)熱功率最大時ab桿的位移；
（4）桿ab在矩形框MNPQ上滑動過程中外力F的變化情況．

Answer 1

分析 （1）金屬桿ab以速度v勻速沿斜面向下滑，切割磁感線相當于電源，其電動勢和內(nèi)阻均不變；均勻金屬框上下兩部分為兩個并聯(lián)的外電阻，隨位移動態(tài)變化，分析并聯(lián)值為先增大后減小，由閉合電路的歐姆定律可以算出感應電流．
（2）外電阻最大時感應電流最小，桿ab發(fā)熱功率的最�。�
（3）矩形框MNPQ上發(fā)熱功率最大，即外電路功率最大；當R_外=r時，外電路功率最大．
（4）因為電路總電阻先增大后減小，所以總電流先減小后增大；金屬桿ab以速度v勻速沿斜面向下滑，受力平衡，考慮到重力沿斜面分力與安培力大小關系不確定，最后結論需分區(qū)間討論．

解答 解：（1）金屬桿ab以速度v勻速沿斜面向下滑，切割磁感線相當于電源，感應電動勢E=BLv，內(nèi)電阻r=2.1Lr₀．
外電路被ab分為上下兩部分，R=$\frac{{R}_{上}{R}_{下}}{{R}_{上}+{R}_{下}}$=$\frac{（L+2s）（9L-2s）}{10L}$r₀
I=$\frac{E}{R+r}$=$\frac{BLv}{\frac{（L+2s）（9L-2s）}{10L}{r}_{0}+2.1L{r}_{0}}$=$\frac{5B{L}^{2}v}{（15{L}^{2}+8sL-2{s}^{2}）{r}_{0}}$
（2）外電路電阻最大時，感應電流最小，ab發(fā)熱功率最�。�
因為R_上+R_下為常數(shù)，所以當R_上=R_下時R有最大值，即位移s=2L
此時R_外=$\frac{{R}_{上}{R}_{下}}{{R}_{上}+{R}_{下}}$=$\frac{5L×5L}{10L}$r₀=2.5Lr₀，P_ab=I²r=（$\frac{E}{R+r}$）² r=$\frac{105{B}^{2}L{v}^{2}}{1058{r}_{0}}$
（3）矩形框的功率即電路的輸出功率，P_出=I²R=（$\frac{E}{R+r}$）²×R=$\frac{{E}^{2}}{\frac{（R-r）^{2}}{R}+4r}$
當R=r時，分母有最小值，輸出功率最大．
R=r，即=$\frac{（L+2s）（9L-2s）}{10L}$r₀=2.1Lr₀，可解得s₁=L，s₂=3L
（4）電流先減小后增大，F(xiàn)_A先減小后增大
在ab滑過框架的過程中，R_min=$\frac{L×9L}{10L}$r₀=0.9 Lr₀，R_總min=3Lr₀，F(xiàn)_Amax=$\frac{{B}^{2}Lv}{3{r}_{0}}$
當ab在MQ中點時，R_max=2.5 Lr₀，R_總max=4.6Lr₀，F(xiàn)_Amin=$\frac{5{B}^{2}Lv}{23{r}_{0}}$
①若mgsinθ≥$\frac{{B}^{2}Lv}{3{r}_{0}}$，則外力F向上，先增大后減��；
②若mgsinθ≤$\frac{5{B}^{2}Lv}{23{r}_{0}}$，則外力F向下，先減小后增大；
③若$\frac{5{B}^{2}Lv}{23{r}_{0}}$＜mgsinθ＜$\frac{{B}^{2}Lv}{3{r}_{0}}$，則外力F先向下減小后向上增大，再先向上減小后向下增大．
答：（1）桿ab中感應電流I隨位移s變化的關系式為 I=$\frac{5B{L}^{2}v}{（15{L}^{2}+8sL-2{s}^{2}）{r}_{0}}$；
（2）桿ab發(fā)熱功率的最小值為 $\frac{105{B}^{2}L{v}^{2}}{1058{r}_{0}}$；
（3）矩形框MNPQ上發(fā)熱功率最大時ab桿的位移s₁=L或s₂=3L；
（4）①若mgsinθ≥$\frac{{B}^{2}Lv}{3{r}_{0}}$，則外力F向上，先增大后減小；
②若mgsinθ≤$\frac{5{B}^{2}Lv}{23{r}_{0}}$，則外力F向下，先減小后增大；
③若$\frac{5{B}^{2}Lv}{23{r}_{0}}$＜mgsinθ＜$\frac{{B}^{2}Lv}{3{r}_{0}}$，則外力F先向下減小后向上增大，再先向上減小后向下增大．

點評 注意：金屬框上下兩部分為兩個并聯(lián)的外電阻，隨位移動態(tài)變化，分析并聯(lián)電阻值為先增大后減��；外電路功率最大時，應滿足R_外=r；重力沿斜面分力與安培力大小關系不確定，最后一問結論要分區(qū)間討論，該部分易錯．